题解：P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易

P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易 题解

各位大佬都用了分层图，但却只用了一种写法，蒟蒻过来补充另外一种写法。

思路

对于这一类问题，我们考虑分层图。

何为分层图？即将一张图分成好多层，同时在这么多张图中连边，然后通过一些算法来实现解题的目的。当题目中的边权会改变或者有特殊边（比如有 $k$ 次机会边权变为 $0$）时就有分层图的用武之地了。

对于这道题目，因为它给的是点权，所以我们首先想到把点权转边权。即将 $u$ 到 $v$ 的路径的边权赋为 $v$ 节点的点权。

随后，容易发现在购买水晶球时，因为要花钱，所以边权为负。同时，在卖出水晶球时，边权又为正了。边权会改变这不就符合了使用分层图的特点吗！

所以，我们可以建 $3$ 层图。哪 $3$ 层？

1. 第一层表示还没有买水晶球。
2. 第二层表示买了水晶球，但没有卖出去。
3. 第三层表示已经卖出了水晶球。

建好了图，现在我们考虑连边：

• 不难想到对于同一层的节点，相连的边权应为 $0$。
• 第一层的节点到第二层的节点，因为要买水晶球，所以边权应为 $-w$，即边权的相反数。
• 第二层的节点到第三层的节点，因为已经卖出了水晶球，所以边权就是 $w$。

答案就是第一层中 $1$ 号节点到第三层中 $n$ 号节点的最长路。

代码实现

分层图

为了实现分层图的多层，我们通常有两种操作：

1. 在连边时实现层与层之间相连。各位大佬都讲得很好了，我这里重点给大家讲第二种。

2. 正常连边，然后把最短路数组和 bool 数组都开成二维：$dis[n][layer]$ 与 $flag[n][layer]$。其中 $n$ 是节点数量，$layer$ 是层数。往 spfa 的队列加一个 $pair$ 保存层数。经过这两个操作，多层的图就被存放在了数组里。然后，我们在跑最长路（或最短路）时就可以对其进行转移，即层与层之间的转移。需要注意的是，转移需要考虑是否已经是顶层，同时，同一层之间要记得松弛。

注意事项

• 对于这道题目，由于第一层到第二层是负边权，所以我们需要特殊处理。

• 因为可以在自己所在的节点上买卖水晶球，所以要在同一个节点上连边（自环）。

• 要跑最长路，数组记得要赋极小值。

• 不要忘了，在答案小于 $0$ 时输出 $0$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 10 , MAXM = 1e6 + 10;
int n , m;
int a[MAXN];
int he[MAXN] , to[MAXM] , ne[MAXM] , w[MAXM];
int idx;
int dis[MAXN][5];
bool flag[MAXN][5];
int cnt;

inline void add(int a , int b , int c) {
	to[++ idx] = b;
	w[idx] = c;
	ne[idx] = he[a];
	he[a] = idx;
	return;
}

inline void spfa() {
	queue<pair<int , int> >q;
	q.push(make_pair(1 , 1));
	memset(dis , 0xcf , sizeof(dis));
	dis[1][1] = 0;
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front().first;
		int layer = q.front().second;
		q.pop();
		flag[u][layer] = false;
		for(register int i = he[u];i;i = ne[i]) {
			int v = to[i];
			if(layer == 1) {
				if(dis[v][layer + 1] < dis[u][layer] - w[i]) {
					dis[v][layer + 1] = dis[u][layer] - w[i];
					if(!flag[v][layer + 1]) {
						flag[v][layer + 1] = true;
						q.push(make_pair(v , 2));
					}
				}
				if(dis[v][layer] < dis[u][layer]) {
					dis[v][layer] = dis[u][layer];
					if(!flag[v][layer]) {
						flag[v][layer] = true;
						q.push(make_pair(v , 1));
					}
				}
			} else {
				if(layer + 1 <= 3 && dis[v][layer + 1] < dis[u][layer] + w[i]) {
					dis[v][layer + 1] = dis[u][layer] + w[i];
					if(!flag[v][layer + 1]) {
						flag[v][layer + 1] = true;
						q.push(make_pair(v , layer + 1));
					}
				}
				if(dis[v][layer] < dis[u][layer]) {
					dis[v][layer] = dis[u][layer];
					if(!flag[v][layer]) {
						flag[v][layer] = true;
						q.push(make_pair(v , layer));
					}
				}
			}
		}
	}
	return;
}
					
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin >> n >> m;
	for(register int i = 1;i <= n;i ++) {
		cin >> a[i];
		add(i , i , a[i]);
	}
	while(m --) {
		int x , y , z;
		cin >> x >> y >> z;
		if(z == 1)
			add(x , y , a[y]);
		else {
			add(x , y , a[y]);
			add(y , x , a[x]);
		}
	}
	spfa();
	if(dis[n][3] > 0)
		cout << dis[n][3];
	else
		cout << 0;
	return 0;
}