题解：AT_abc393_d [ABC393D] Swap to Gather

AT_abc393_d [ABC393D] Swap to Gather 题解

题意

给定一串只有 0和 1的字符串，可以将相邻的两个字符交换，问至少需要多少步才能让所有的 1相邻。

思路

非常结论的一道题目。

设有 $m$ 个 1，则把所有的 1都移到与第 $\frac{m}{2}+1$ 个 1相邻的位置有最优解。

为什么，举例说明一下：

若 $m$ 为奇数。

假设有这么一串数：

$$1\underset{a个0}{\underbrace{0\cdots 0}}1\underset{b个0}{\underbrace{0\cdots 0}}1$$

若把所有的 1都移到与中间那个 1相邻的位置，则所需步数为：$a+b$。

若要把所有的 1都移到与两旁的 1相邻的位置，则所需步数为：$a+2\times b$ 或 $2\times a+b$。

很显然，这两个答案一定都会比 $a+b$ 大。所以，在 $m$ 为奇数时，把所有的 1都移到与第 $\frac{m}{2}+1$ 个 1相邻的位置时有最优解。

若 $m$ 为偶数。

假设有这么一串数：

$$1\underset{a个0}{\underbrace{0\cdots 0}}1\underset{b个0}{\underbrace{0\cdots 0}}1\underset{c个0}{\underbrace{0\cdots 0}}1$$

若要移到与第一个 1相邻的位置，则所需步数为：$a\times 3+b\times 2+c$。

若要移到与第二个 1相邻的位置，则所需步数为：$a+b\times 2+c$。同理，移到与第三个 1相邻的位置所需步数也是：$a+b\times 2+c$。

若要移到与第四个 1相邻的位置，则所需步数为：$a+b\times 2+c\times 3$。

此时，可以发现把所有的 1都移到与第 $\frac{m}{2}$ 个 1到第 $\frac{m}{2}+1$ 个 1相邻的位置时都有最优解。所以不妨也把所有的 1都移到与第 $\frac{m}{2}+1$ 个 1相邻的位置。

其实这题就是一个绝对值方程求最值。

代码

直接模拟即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 10;
int n;
char a[MAXN];
int num;

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin >> n;
	for(register int i = 1;i <= n;i ++) {
		cin >> a[i];
		if(a[i] == '1')
			num ++;	
	}
	int k , cnt = 0 , ans = 0;
	for(register int j = 0 , i = 1;j < num / 2 + 1;i ++)
		if(a[i] == '1') {
			k = i;
			j ++;
		}
	for(register int i = k - 1;i >= 1;i --)
		if(a[i] == '1') {
			ans += (k - i - 1 - cnt);
			cnt ++;
		}
	cnt = 0;
	for(register int i = k + 1;i <= n;i ++)
		if(a[i] == '1') {
			ans += (i - k - 1 - cnt);
			cnt ++;
		}
	cout << ans;
}