2440: [中山市选2011]完全平方数二分答案+容斥原理+莫比乌斯函数

最新推荐文章于 2021-07-13 16:54:35 发布

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本文介绍了一种使用二分查找与容斥原理结合的方法来寻找第K个无平方因子数的算法实现。通过预处理莫比乌斯函数μ(i)的值，可以在给定区间内快速计算出无平方因子数的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目即要求第k个不含平方因子的数，即每个质数的次数都为1。
那么我们可以二分答案，然后求出在 $[1,mid]$ 间的无平方因子数的个数。
考虑容斥原理，无平方因子数的个数=总个数-含一个质数平方的个数+含两个质数平方的个数……
可以发现每一项前的系数恰为 $\mu(i)$ ，所以个数就为 $\sum_{i=1}^{\sqrt mid}\mu(i)\times\lfloor\frac{mid}{i^2}\rfloor$ ，然后就好啦。
二分过程不要忘记开long long

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 44723
#define ll long long 
using namespace std;
int mobius[MAXN],prime[MAXN];
bool flag[MAXN];
inline int read()
{
    int a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
inline void prepare()
{
    mobius[1]=1;
    for (int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if (!flag[i]) prime[++prime[0]]=i,mobius[i]=-1;
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<MAXN;j++)
        {
            flag[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mobius[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];
        }
    }
}
inline int judge(int x)
{
    int tmp=0;
    for (int i=1;i*i<=x;i++)
        tmp+=x/(i*i)*mobius[i];
    return tmp;
}
inline ll find(int k)
{
    ll l=1,r=k<<1,ans;
    while (l<=r)
    {
        ll mid=l+r>>1;
        if (judge(mid)>=k) ans=mid,r=mid-1; else l=mid+1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    prepare();
    int testcase=read();
    while (testcase--)
    {
        int k=read();
        printf("%lld\n",find(k));
    }
    return 0;
}