4407: 于神之怒加强版 莫比乌斯反演+线性筛积性函数

好虚。。不会做啊
$Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)^k$，我们考虑枚举公约数$d$，然后令$f(d)$表示$gcd(i,j)=d$的数对$(i,j)$的数量，然后莫比乌斯反演可得$f(d)=\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(x)\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor$，所以有

$$Ans=\sum_{d=1}^n d^k\times \sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(x)\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor$$
我们令$T=dx$,
则 $$Ans=\sum_{T=1}^n\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum_{d\mid T}d^k\mu(\frac{T}{d})$$
令$g(T)=\sum_{d\mid T}d^k\mu(\frac{T}{d})$，求出$g(T)$就可以分块辣。
可以发现$g(T)$显然是一个积性函数，然后我们可以进行线性筛。
若$is\_prime(x)$，则$g(x)=x^k-1$
否则，若$gcd(x,p)=1$，则$g(x\times p)=g(x)\times g(p)$。
否则 $g(x\times p)=g(x)\times p^k$。
前两个是显然的，我们来YY一下第三个。
我们加入一个已经存在的质数$p$，由于含$p^i(i>1)$的数的莫比乌斯函数为0，所以加入一个数后式子的项数是不变的，而每个数都多乘了一个$p^k$，所以将原来的和乘$p^k$就好辣。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define P 1000000007
#define ll long long
#define MAXN 5000005
using namespace std;
int prime[MAXN];
ll f[MAXN],p[MAXN];
bool flag[MAXN];
int k;
inline int read()
{
    int a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
ll quick_power(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    for (ll i=b;i;i>>=1,a=a*a%P)
        if (i&1) ans=ans*a%P;
    return ans;
}
inline void prepare()
{
    f[1]=1;
    for (int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if (!flag[i]) prime[++prime[0]]=i,p[prime[0]]=quick_power(i,k),f[i]=p[prime[0]]-1;
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<MAXN;j++)
        {
            flag[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                f[i*prime[j]]=f[i]*p[j]%P;
                break;
            }
            else f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]%P;
        }
    }

    for (int i=1;i<MAXN;i++) (f[i]+=f[i-1])%=P;
}
int main()
{
    int testcase=read(); k=read();
    prepare();
    while (testcase--)
    {
        ll ans=0;
        int n=read(),m=read();
        if (n>m) swap(n,m);
        for (int i=1,pos;i<=n;i=pos+1)
        {
            pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
            (ans+=(f[pos]-f[i-1]+P)%P*(n/i)%P*(m/i)%P)%=P;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}