bzoj2440: [中山市选2011]完全平方数容斥原理 + 莫比乌斯函数

最新推荐文章于 2021-02-28 09:19:54 发布

Mr_Doublerun

最新推荐文章于 2021-02-28 09:19:54 发布

阅读量252

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：莫比乌斯反演积性函数二分容斥原理

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Mr_Doublerun/article/details/99070409

二分同时被 3 个专栏收录

11 篇文章

订阅专栏

积性函数

3 篇文章

订阅专栏

莫比乌斯反演

2 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种求解第kkk个无平方因子数的高效算法，利用二分查找和莫比乌斯函数，结合容斥原理计算指定范围内无平方因子数的数量，通过质数筛法预处理莫比乌斯函数值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

求第 $k$ 个没有平方因子的数。 对于一个没有平方因子的数， $n=p_1p_2...p_k，p_i$ 为质数。

首先二分答案，问题转化为区间 $[1, x]$ 有几个没有平方因子的数。
根据容斥原理，对于 $x\sqrt x$ 以内的质数:
$n-由1个质因子组成的平方数的倍数的数量\\+由2个质因子组成的平方数的倍数的数量\\-由3个质因子组成的平方数的倍数的数量...$
而每项由 $k$ 个质因子前的系数为 $1)^k$ ，正是莫比乌斯函数 $μ(i)\mu(i)$ .

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<cstdlib>

#define ll long long
#define mem(a, x) memset(a,x,sizeof(a))
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int N = 5e4;
int pri[N], mu[N], tot, n;
bool vis[N];
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void seive() {
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        if (!vis[i])
            pri[++tot] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 1; j <= tot && pri[j] * i <= N; j++) {
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j] == 0) {
                mu[i * pri[j]] = 0;
                break;
            }
            else mu[i * pri[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

inline bool check(ll x) {
    ll s = 0;
    for (int i = 1; i * i <= x; ++i)
        s += mu[i] * x / (i * i);
    return s >= n;
}

int main() {
    seive();
    int T = read();
    while (T--) {
        n = read();
        ll l = 1, r = 1644934081;
        while (l < r) {
            ll mid = (l + r) >> 1;
            if (check(mid)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        printf("%lld\n", r);
    }
    return 0;
}