2820: YY的GCD 莫比乌斯反演

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本文介绍了一种针对特定数学问题的算法优化方法，通过引入线性筛法和分块技术来提高求解效率。该方法利用了莫比乌斯函数的性质，实现了对原问题的有效简化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这道题与Problem b是非常相似的，只不过不是求一个固定的数，是求素数。
那么我们可以得到： $Ans=\sum_k\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\mu(d)\lfloor\frac{n}{k\times d}\rfloor\lfloor\frac{m}{k\times d}\rfloor$ ，其中 $k$ 为 $\leq n$ 的素数，如果枚举素数然后再分块，复杂度为 $O(T\sum_k \sqrt\frac{n}{k})$ 显然会TLE。
为表述方便，不妨令 $T=k\times d$ ,可以发现在求解的过程中，每次枚举到 $T$ 的质因子，就要计算 $\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor$ ，那么我们可以把这一项提到前面，于是对上式变形得：
$Ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor \sum_{k\mid T} \mu(\frac{T}{k})$ ，令 $f(T)=\sum_{k\mid T} \mu(\frac{T}{k})$ ,那么 $Ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor f(T)$ ,可以发现如果能求出 $f(T)$ ,我们就可以分块辣！
那么现在就考虑怎样预处理 $f(T)$ 。
设 $T=p_1^{x_1}\times p_2^{x_2}\times ...\times p_n^{x_n}$ ，设 $S=p_1^{x_1-1}\times p_2^{x_2}\times ...\times p_n^{x_n}$ ，那么计算 $f(T)$ 分两种情况：
①若 $x_1=1$ 即 $S \ mod \ p_1 \neq 0$ 时， $f(S)=\sum_{i=2}^k \mu(\frac{S}{p_i}),f(T)=\sum_{i=1}^k\mu(\frac{T}{p_i})=\mu(\frac{T}{p_1})+\sum_{i=2}^k\mu(\frac{T}{p_i})=\mu(S)+\sum_{i=2}^k\mu(\frac{S}{p_i}\times p_1)=\mu(S)+\sum_{i=2}^k\mu(\frac{S}{p_i})\mu(p_1)=\mu(S)-f(S)$ 。
②若 $x_1>1$ ，即 $S \ mod \ p_1=0,\mu(p_1^{x_1})=0,f(T)=\sum_{i=1}^k\mu(\frac{T}{p_i})=\mu(\frac{T}{p_1})+\sum_{i=2}^k\mu(\frac{T}{p_i})=\mu(S)+\sum_{i=2}^k\mu(\frac{T}{p_i\times p_1^{x_1}}\times p_1^{x_1})=\mu(S)+\sum_{i=2}^k\mu(\frac{T}{p_i\times p_1^{x_1}})\times \mu(p_1^{x_1})=\mu(S)$
然后我们就可以愉快的进行线性筛+分块辣。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 10000005
#define ll long long
using namespace std;
int prime[MAXN],mobius[MAXN],f[MAXN],sum[MAXN];
bool flag[MAXN];
inline int read()
{
    int a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
inline void prepare()
{
    mobius[1]=1; 
    for (int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if (!flag[i]) prime[++prime[0]]=i,mobius[i]=-1,f[i]=1;
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<MAXN;j++)
        {
            flag[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mobius[i*prime[j]]=0;
                f[i*prime[j]]=mobius[i];
                break;
            }
            else mobius[i*prime[j]]=-mobius[i],f[i*prime[j]]=mobius[i]-f[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<MAXN;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+f[i];
}           
int main()
{
    prepare();
    int testcase=read();
    while (testcase--)
    {
        ll n=read(),m=read();
        if (n>m) swap(n,m);
        ll ans=0; int pos=0;
        for (int i=1;i<=n;i=pos+1)
        {
            pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}