Week 11_汤姆斯生活在一个等级为0的星球上。那里的环境极其恶劣,每天 12 小时的工作和成堆-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Pharus/article/details/128707525

本文介绍了洛谷平台上的几个编程题目，涉及动态规划求解最优化路径、01背包问题求解方案数、基于天平的砝码称重问题以及寻找最大正方形和环境治理的策略。这些问题都涉及到计算和优化问题，需要利用动态规划和图论知识来解决。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

洛谷P1796 汤姆斯的天堂梦

题目描述

汤姆斯生活在一个等级为 $0$ 的星球上。那里的环境极其恶劣，每天 $12$ 小时的工作和成堆的垃圾让人忍无可忍。他向往着等级为 $N$ 的星球上天堂般的生活。

有一些航班将人从低等级的星球送上高一级的星球，有时需要向驾驶员支付一定金额的费用，有时却又可以得到一定的金钱。

汤姆斯预先知道了从 $0$ 等级星球去 $N$ 等级星球所有的航线和需要支付（或者可以得到）的金钱，他想寻找一条价格最低（甚至获得金钱最多）的航线。

输入格式

第一行一个正整数 $N$ （ $\le 100$ ），接下来的数据可分为 $N$ 个段落，每段的第一行一个整数 $K_i$ （ $Ki≤100K_i \le 100$ ），表示等级为 $i$ 的星球有 $K_i$ 个。

接下来的 $K_i$ 行中第 $j$ 行依次表示与等级为 $i$ ，编号为 $j$ 的星球相连的等级为 $i - 1$ 的星球的编号和此航线需要的费用（正数表示支出，负数表示收益，费用的绝对值不超过 $1000$ ）。

每行以 $0$ 结束，每行的航线数 $≤100\le 100$ 。

输出格式

输出所需（或所得）费用。正数表示支出，负数表示收益。

样例 #1

样例输入 #1

3
2
1 15 0
1 5 0
3
1 -5 2 10 0
1 3 0
2 40 0
2
1 1 2 5 3 -5 0
2 -19 3 -20 0

样例输出 #1

-1

提示

对于 $\%$ 的数据， $\le N \le 100$ ， $\le K_i \le 100$ 。

样例解释：

思路： 这题一眼看过去是跟图论有关的题，但根据题意，等级为 i 的星球只能由等级为 i - 1 的星球到达，因此可以用动态规划来解决。设 dp[i][j] 为登上等级为 i 编号为 j 的星球的最低价格，则状态转移方程为

dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][k] + v)，其中k为星球编号，v为价格

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k, dp[105][105], ans = 0x3f3f3f3f;
int main(){
    cin >> n;
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    dp[0][1] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> k;
        for(int j = 1; j <= k; j++){
            int a;
            cin >> a;
            while(a){
                int b;
                cin >> b;
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][a] + b);
                cin >> a;
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= k; i++){
        ans = min(ans, dp[n][i]);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

洛谷P1806 跑步

题目描述

路人甲准备跑 $n$ 圈来锻炼自己的身体，他准备分多次（ $>1\gt1$ ）跑完，每次都跑正整数圈，然后休息下再继续跑。

为了有效地提高自己的体能，他决定每次跑的圈数都必须比上次跑的多。

可以假设他刚开始跑了 $0$ 圈，那么请问他可以有多少种跑完这 $n$ 圈的方案？

输入格式

一行一个整数，代表 $n$ 。

输出格式

一个整数表示跑完这 $n$ 圈的方案数。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

995645335

提示

数据规模与约定

对于 $100%100\%$ 的数据，保证 $5≤n≤5005\le n\le 500$ 。

思路： 用背包问题的思路就可以顺利解决。设 dp[i][j] 为跑前 i 圈且最后一圈跑了 j 圈的方案数，则状态转移方程为

dp[i][j] = dp[i - j][1] + dp[i - j][2] + … + dp[i - j][k], 其中k <= i - j 且k < j

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n, dp[505][505], ans;
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        dp[i][i] = 1;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j < i; j++){
            for(int k = 1; k <= i - j && k < j; k++){
                dp[i][j] += dp[i - j][k];
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        ans += dp[n][i];
    }
    cout << ans - 1;
    return 0;
}

洛谷P8742 [蓝桥杯 2021 省 AB] 砝码称重

题目描述

你有一架天平和 $N$ 个砝码, 这 $N$ 个砝码重量依次是 $,WNW_{1}, W_{2}, \cdots, W_{N}$ 。请你计算一共可以称出多少种不同的重量?

注意砝码可以放在天平两边。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $N$ 。

第二行包含 $N$ 个整数: $,WNW_{1}, W_{2}, W_{3}, \cdots, W_{N}$ 。

输出格式

输出一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

3
1 4 6

样例输出 #1

提示

【样例说明】

能称出的 10 种重量是: $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 9 、 10 、 11$ 。

$\begin{aligned} &1=1 \\ &2=6-4(\text { 天平一边放 } 6, \text { 另一边放 4) } \\ &3=4-1 \\ &4=4 \\ &5=6-1 \\ &6=6 \\ &7=1+6 \\ &9=4+6-1 \\ &10=4+6 \\ &11=1+4+6 \end{aligned}$

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq N \leq 15$ 。

对于所有评测用例, $\leq N \leq 100, N$ 个砝码总重不超过 $10^5$ 。

蓝桥杯 2021 第一轮省赛 A 组 F 题（B 组 G 题）。

思路： 一道01背包问题。用 dp[i][j] 表示用前 i 个砝码能否称出 j 的重量，w[i] 为第 i 个砝码的重量，则状态转移方程为

if(dp[i - 1][j + w[i]]) dp[i][j] = true;
else if(dp[i - 1][abs(j - w[i])]) dp[i][j] = true;
else dp[i][j] = dp[i - 1][j];

由于砝码能放在天平两边，因此要用abs(j - w[i])来表示称出的重量

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, w[105], maxx, ans;
bool dp[105][200005];
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> w[i];
        maxx += w[i];//最大重量
    }
    dp[0][0] = true;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 0; j <= maxx; j++){
            if(dp[i - 1][j + w[i]]) dp[i][j] = true;
            else if(dp[i - 1][abs(j - w[i])]) dp[i][j] = true;
            else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
    for(int i = 0; i <= maxx; i++){
        if(dp[n][i]) ans++;
    }
    cout << ans - 1;
    return 0;
}

洛谷P1959 遗址

题目描述

很久很久以前有一座寺庙，从上往下看寺庙的形状正好是一个正方形，由 $4$ 个角上竖立的圆柱搭建而成。现在圆柱都倒塌了，只在地上留下圆形的痕迹，可是现在地上有很多这样的痕迹，专家说一定是最大的那个。

写一个程序，给出圆柱的坐标，找出由 $4$ 个圆柱构成的最大的正方形，因为这就是寺庙的位置，要求计算出最大的面积。注意正方形的边不一定平行于坐标轴。

例如图有 $10$ 根柱子，其中 $(4, 2), (5, 2), (5, 3), (4, 3)$ 可以形成一个正方形， $(1, 1), (4, 0), (5, 3), (2, 4)$ 也可以，后者是其中最大的，面积为 $10$ 。

输入格式

第一行包含一个 $N(1≤N≤3000)N(1\leq N\leq 3000)$ ，表示柱子的数量。

接下来 $N$ 行，每行有两个空格隔开的整数表示柱子的坐标（坐标值在 $0$ 到 $5000$ 之间），柱子的位置互不相同。

输出格式

如果存在正方形，输出最大的面积，否则输出 $0$ 。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

【数据范围】

$30%30\%$ 满足： $1≤N≤1001\leq N \leq100$ 。

$60%60\%$ 满足： $1≤N≤5001\leq N \leq500$ 。

$100%100\%$ 满足： $1≤N≤30001\leq N \leq3000$ 。

思路： 首先观察数据范围，由于 $1≤N≤30001\leq N \leq3000$ ，所以在搜索正方形的顶点时时间复杂度最多只能为O(n^2)，即只搜索正方形的其中两个顶点。再通过观察可知，设正方形第一个顶点坐标（x1, y1），第二个顶点坐标（x2, y2），则第三个顶点可表示为（x1 ± (y1 - y2), y1 ± (x1 - x2)），第四个顶点可表示为（x2 ± (y1 - y2), y2 ± (x1 - x2)）。最后直接用两层for循环搜索所有点即可。注意要判断所有点不能超出给定的坐标范围。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool mp[5005][5005];
int n, ans;
struct pole{
    int x, y;
} p[3005];
int check(int a, int b){
    int x1 = p[a].x, x2 = p[b].x, y1 = p[a].y, y2 = p[b].y;
    int dx = x1 - x2, dy = y1 - y2;
    bool flag1 = false, flag2 = false;
    if(x1 + dy < 0 || x1 + dy > 5000 || y1 - dx < 0 || y1 - dx > 5000 || x2 + dy < 0 || x2 + dy > 5000 || y2 - dx < 0 || y2 - dx > 5000 ) flag1 = true;
    if(x1 - dy < 0 || x1 - dy > 5000 || y1 + dx < 0 || y1 + dx > 5000 || x2 - dy < 0 || x2 - dy > 5000 || y2 + dx < 0 || y2 + dx > 5000 ) flag2 = true;
    if(!flag1 && (mp[x1 + dy][y1 - dx] && mp[x2 + dy][y2 - dx])) return dx * dx + dy * dy;
    if(!flag2 && (mp[x1 - dy][y1 + dx] && mp[x2 - dy][y2 + dx])) return dx * dx + dy * dy;
    else return 0;
}
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        mp[a][b] = true;
        p[i] = {a, b};
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = i + 1; j < n; j++){
            ans = max(ans, check(i, j));
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

洛谷P8794 [蓝桥杯 2022 国 A] 环境治理

题目描述

LQ 国拥有 $n$ 个城市，从 $0$ 到 $n - 1$ 编号，这 $n$ 个城市两两之间都有且仅有一条双向道路连接，这意味着任意两个城市之间都是可达的。每条道路都有一个属性 $D$ ，表示这条道路的灰尘度。当从一个城市 A 前往另一个城市 B 时，可能存在多条路线，每条路线的灰尘度定义为这条路线所经过的所有道路的灰尘度之和，LQ 国的人都很讨厌灰尘，所以他们总会优先选择灰尘度最小的路线。

LQ 国很看重居民的出行环境，他们用一个指标 $P$ 来衡量 LQ 国的出行环境， $P$ 定义为：

$P=∑i=0n−1∑j=0n−1d(i,j)P=\sum \limits_{i=0}^{n-1} \sum \limits_{j=0}^{n-1} d(i,j)$

其中 $d (i, j)$ 表示城市 $i$ 到城市 $j$ 之间灰尘度最小的路线对应的灰尘度的值。

为了改善出行环境，每个城市都要有所作为，当某个城市进行道路改善时，会将与这个城市直接相连的所有道路的灰尘度都减少 $1$ ，但每条道路都有一个灰尘度的下限值 $L$ ，当灰尘度达到道路的下限值时，无论再怎么改善，道路的灰尘度也不会再减小了。

具体的计划是这样的：

第 $1$ 天， $0$ 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善；
第 $2$ 天， $1$ 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善；

……

第 $n$ 天， $n - 1$ 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善；
第 $n + 1$ 天， $0$ 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善；
第 $n + 2$ 天， $1$ 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善；

……

LQ 国想要使得 $P$ 指标满足 $\leq Q$ 。请问最少要经过多少天之后， $P$ 指标可以满足 $\leq Q$ 。如果在初始时就已经满足条件，则输出 $0$ ；如果永远不可能满足，则输出 $- 1$ 。

输入格式

输入的第一行包含两个整数 $n, Q$ ，用一个空格分隔，分别表示城市个数和期望达到的 $P$ 指标。

接下来 $n$ 行，每行包含 $n$ 个整数，相邻两个整数之间用一个空格分隔，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的值 $D_{i,j} (D_{i,j}=D_{j,i},D_{i,i} = 0)$ 表示城市 $i$ 与城市 $j$ 之间直接相连的那条道路的灰尘度。

接下来 $n$ 行，每行包含 $n$ 个整数，相邻两个整数之间用一个空格分隔，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的值 $L_{i,j} (L_{i,j} = L_{j,i}, L_{i,i} = 0)$ 表示城市 $i$ 与城市 $j$ 之间直接相连的那条道路的灰尘度的下限值。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

【样例说明】

初始时的图如下所示，每条边上的数字表示这条道路的灰尘度：

此时每对顶点之间的灰尘度最小的路线对应的灰尘度为：

$d (0, 0) = 0, d (0, 1) = 2, d (0, 2) = 3$ ；
$d (1, 0) = 2, d (1, 1) = 0, d (1, 2) = 1$ ；
$d (2, 0) = 3, d (2, 1) = 1, d (2, 2) = 0$ 。

初始时的 $P$ 指标为 $\times 2 = 12$ ，不满足 $\leq Q = 10$ ;

第一天， $0$ 号城市进行道路改善，改善后的图示如下：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CDgtMFfE-1673865069268)(https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/mrhf5wx6.png)]

注意到边 $(0, 2)$ 的值减小了 $1$ ，但 $(0, 1)$ 并没有减小，因为 $L_{0,1} = 2$ ，所以 $(0, 1)$ 的值不可以再减小了。此时每对顶点之间的灰尘度最小的路线对应的灰尘度为：

$d (0, 0) = 0, d (0, 1) = 2, d (0, 2) = 3$ ，
$d (1, 0) = 2, d (1, 1) = 0, d (1, 2) = 1$ ，
$d (2, 0) = 3, d (2, 1) = 1, d (2, 2) = 0$ 。

此时 $P$ 仍为 $12$ 。

第二天，1 号城市进行道路改善，改善后的图示如下：

此时每对顶点之间的灰尘度最小的路线对应的灰尘度为：

$d (0, 0) = 0, d (0, 1) = 2, d (0, 2) = 2$ ，
$d (1, 0) = 2, d (1, 1) = 0, d (1, 2) = 0$ ，
$d (2, 0) = 2, d (2, 1) = 0, d (2, 2) = 0$ 。

此时的 $P$ 指标为 $\times 2 = 8 < Q$ ，此时已经满足条件。

所以答案是 $2$ 。

【评测用例规模与约定】

对于 $30%30\%$ 的评测用例， $\leq n \leq 10$ ， $\leq L_{i,j} \leq D_{i,j} \leq 10$ ；
对于 $60%60\%$ 的评测用例， $\leq n \leq 50$ ， $\leq L_{i,j} \leq D_{i,j} \leq 10^5$ ；
对于所有评测用例， $\leq n \leq 100$ ， $\leq L_{i,j} \leq D_{i,j} \leq 10^5$ ， $\leq Q \leq 2^{31} - 1$ 。

蓝桥杯 2022 国赛 A 组 F 题。

思路： 用floyd算法能直接算出所有城市间灰尘度最小的道路，此时的时间复杂度是O(n^3)，而又因为要找出最短的天数使得 $\leq Q$ ，如果每一天都更新道路间的灰尘度并使用floyd计算最小值，那么想都不用想肯定会超时。而由题意可知，随着道路的改善，灰尘度是单调递减的，因此可以用二分来查找最短的天数。注意最终的答案要与二分的上界一起更新，这样才能保证最终答案是最小值

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n, q, ans, dust[100][100], limit[100][100], mp[100][100];
int check(int mid){
    int a = mid / n, b = mid % n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            mp[i][j] = dust[i][j] - a;
            if(i < b) mp[i][j] -= 1;
            mp[i][j] = max(mp[i][j], limit[i][j]);
        }
    }
    for(int k = 0; k < n; k++){
        for(int i = 0; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                mp[i][j] = min(mp[i][j], mp[i][k] + mp[k][j]);
            }
        }
    }
    long long res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            res += mp[i][j];
        }
    }
    return res;
}
int main(){
    cin >> n >> q;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            cin >> dust[i][j];
        }
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            cin >> limit[i][j];
        }
    }
    int st = 0, ed = 1e7;
    while(st <= ed){
        int mid = (st + ed) / 2;
        if(check(mid) > q) st = mid + 1;
        else ed = mid - 1, ans = mid;
    }
    if(st == 1e7 + 1) cout << -1;
    else cout << ans;
    return 0;
}