洛谷P2066 机器分配

本文探讨了一道关于如何将M台高效设备最优分配给N个分公司的动态规划问题,目标是最大化国家的盈利。通过输入分公司数和设备数以及盈利矩阵,可以计算出最大盈利值及每家分公司分配的设备数。

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总公司拥有高效设备M台,准备分给下属的N个分公司。各分公司若获得这些设备,可以为国家提供一定的盈利。问:如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大?求出最大盈利值。其中M≤15,N≤10。分配原则:每个公司有权获得任意数目的设备,但总台数不超过设备数M。

输入格式:

第一行有两个数,第一个数是分公司数N,第二个数是设备台数M。

接下来是一个N*M的矩阵,表明了第 I个公司分配 J台机器的盈利。

### 关于动态规划 (Dynamic Programming, DP) 的解决方案 在解决平台上的编程问题时,尤其是涉及动态规划的题目,可以采用以下方法来构建解决方案: #### 动态规划的核心思想 动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。其核心在于存储重复计算的结果以减少冗余运算。通常情况下,动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。 对于动态规划问题,常见的思路包括定义状态、转移方程以及边界条件的设计[^1]。 --- #### 题目分析与实现案例 ##### **P1421 小玉买文具** 此题是一个典型的简单模拟问题,可以通过循环结构轻松完成。以下是该问题的一个可能实现方式: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; // 输入购买数量n double p, m, c; cin >> p >> m >> c; // 输入单价p,总金额m,优惠券c // 计算总价并判断是否满足条件 if ((double)n * p <= m && (double)(n - 1) * p >= c) { cout << "Yes"; } else { cout << "No"; } return 0; } ``` 上述代码实现了基本逻辑:先读取输入数据,再根据给定约束条件进行验证,并输出最终结果[^2]。 --- ##### **UOJ104 序列分割** 这是一道经典的区间动态规划问题。我们需要设计一个二维数组 `f[i][j]` 表示前 i 次操作后得到的最大价值,其中 j 是最后一次切割的位置。具体实现如下所示: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 5e3 + 5; long long f[MAXN], sumv[MAXN]; int a[MAXN]; int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int n,k; cin>>n>>k; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]; for(int i=1;i<=n;i++)sumv[i]=sumv[i-1]+a[i]; memset(f,-0x3f,sizeof(f)); f[0]=0; for(int t=1;t<=k;t++){ vector<long long> g(n+1,LLONG_MIN); for(int l=t;l<=n;l++)g[l]=max(g[l-1],f[t-1][l-1]); for(int r=t;r<=n;r++)f[r]=max(f[r],g[r]+sumv[r]*t); } cout<<f[n]<<'\n'; return 0; } ``` 这段程序利用了滚动数组优化空间复杂度,同时保持时间效率不变[^3]。 --- ##### **其他常见问题** 针对更复杂的路径覆盖类问题(如 PXXXX),我们往往需要结合一维或多维动态规划模型加以处理。例如,在某些场景下,我们可以设定 dp 数组记录到达某一点所需最小代价或者最大收益等指标[^4]。 --- ### 总结 以上展示了如何运用动态规划技巧去应对不同类型的算法挑战。无论是基础还是高级应用场合,合理选取合适的数据结构配合清晰的状态转换关系都是成功解决问题的关键所在。
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