“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营5 D.Birds in the tree

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题目大意

给定包含 $n$ 个节点的树，每个节点具有颜色 $0$ 或者颜色 $1$ 。求其有多少联通子图，满足度数为 $1$ 的节点颜色相同。
答案很大，对 $10^9+7$ 取模。

题解

这是一个计数问题，肉眼可见的，我们无法通过暴力枚举情况解决，也无法通过一定的数学技巧 我不会 来解决问题，所以我们可以自然地想到解决方法，$DP$ 。更加的，由题目得，这是一棵树，所以我们可以使用树形DP来解决这个问题。

设状态

一般的，我们设树形DP状态为某个节点下子树的状态，考虑这题有颜色的限制，所以我们设的状态为 $d{p}_{x,col}$ 表示该子树下，该颜色下，有多少个满足条件的询问，由于经过该点的目标子图可以合并成一个状态来解决，所以我们可以令该状态下必定经过 $x$ 节点，使得计算方便。

状态转移

如果不考虑其他限制，即一个子图颜色都相同，添加一个根所添加的，其余节点的可能 ++ ，则容易推得 $d{p}_{x,col}={\prod }_{s\in x_{son}}d{p}_{s,col}+1$ ，可以考虑得，在该子图的 $ans=d{p}_{x,0}+d{p}_{x,1}$ ，
而无法成立的状态，我们需要删去子图中首位不向符合的可能，即 $\sum d{p}_{x,!col}$ ，
综上，对于每一个子图，我们需要实现的状态转移为 $ans+=d{p}_{x,0}+d{p}_{x,1}-\sum d{p}_{x,!col}$ 。
另外的，根节点只有一种可能，所以计算后的 $d{p}_{x,!col}$ 的可能需要 $-1$ 。

实现

在一棵无根树中选择一个节点为根，跑 $dfs$ 和 树形DP，经过状态转移方程，将结果累加。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=3e5+5;
const int mod=1e9+7;
vector<int> v[N];
int n;
char c[N];
int b[N];
int dp[N][2];
ll ans;
void dfs(int x)
{
    b[x]=1;
    dp[x][0]=dp[x][1]=1;
    ll sum=0;
    for(int i=0;i<v[x].size();i++)                             //转移哒
    {
        int son=v[x][i];
        if(b[son])
            continue;
        dfs(son);
        sum+=dp[son][!c[x]];
        dp[x][c[x]]=1ll*dp[x][c[x]]*(dp[son][c[x]]+1)%mod;
        dp[x][!c[x]]=1ll*dp[x][!c[x]]*(dp[son][!c[x]]+1)%mod;
    }
    sum%=mod;
    dp[x][!c[x]]--;
    ans=((1ll*ans+dp[x][0]+dp[x][1]-sum)%mod+mod)%mod;         //结果可能为负数，取模时需要注意
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    cin>>c+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)                   //字符串转换成数字，方便操作
        c[i]=c[i]-'0';
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        v[x].push_back(y);
        v[y].push_back(x);
    }
    dfs(1);
    printf("%lld",ans);
}

后话

原题有点迷，数据有点迷，我有点迷，，，