【题目】教主的魔法

针对区间长度和操作次数不对等的问题,采用分块技术优化区间修改与查询操作。通过维护两个序列,A序列用于原始数据,B序列确保每块内部有序,实现O(nlog2n)的时间复杂度。

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这次竟然分到一道板题……

题目大意

给出一个长度为nnn的序列,每个数字一开始都是不超过100010001000的正整数。下面进行两种操作:

  • M l r w:把闭区间[l,r][l,r][l,r]内的数字的值全部加上一个整数www1⩽w⩽10001\leqslant w\leqslant 10001w1000
  • A l r c:询问闭区间[l,r][l,r][l,r]内有多少个数大于等于ccc1⩽c⩽1091\leqslant c\leqslant 10^91c109

n⩽1000000n\leqslant 1000000n1000000Q⩽3000Q\leqslant 3000Q3000


思路

常见的区间问题中区间长度nnn和操作次数QQQ范围都是相当的,而本题QQQ小得有点奇怪,只相当于n\sqrt nn。这暗示我们可以用分块。

由于第二个操作涉及到大小比较,除了给出的AAA序列外,另外维护一个序列BBB,保证BBB中每一块内的数字都是有序的。然后就可以愉快的分块了。

区间修改

对于区间两端不包含某个块的部分,暴力对每个值加www。加完后维护一下BBB序列中对应块的数字(复制后重新排序)。
对于被区间完全覆盖的块,用一个addaddadd标记记录每一块被整体增加的值。
时间复杂度O(nlog⁡2n)O(\sqrt n\log_2n)O(nlog2n)

区间查询

对于区间两端的部分,同样暴力枚举,记录大于等于ccc的数的个数,但注意要加上对应块的addaddadd标记。
对于被区间完全覆盖的块,在BBB序列的对应块内用lower_bound找出第一个大于等于c−addc-addcadd的位置,然后可以据此计算出该块内大于等于ccc的数的个数。
时间复杂度O(nlog⁡2n)O(\sqrt n\log_2n)O(nlog2n)

……然后就完了。注意区分数字的序号和块的序号,以及最后一个块不足n\sqrt nn需要特判。

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