离散数学 - 图论(1)-图的基本概念

图论(1)-图的基本概念

图的基本概念

• 一个图G是一个二重组 <V,E>, 其中V是非空的节点(vertex)的集合, E是边(edge)的集合.

• 若边e所对应的偶对<a, b>是有序的, 则称e是有向边。 有向边简称弧, a叫弧e的始点, b叫弧e的终点, 统称为e的端点。

• 若边e所对应的偶对(a,b)是无序的, 则称e是无向边。

• 每一条边都是有向边的图称为有向图。

• 每一条边都是无向边的图称为无向图。

• 如果在图中一些边是有向边,而另一些边是无向边,则称 这个图是混合图。

• 关联于同一结点的一条边称为自回路。

• 两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称这几条边 为平行边或多重边。

• 不含自回路和多重边的图称为简单图。

• 每个顶点与其余顶点均相连的无向简单图，称为无向完全图

• 具有n (n>=1) 个顶点的无向完全图记作 $K_n$。

• 每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的有向简单图，称为有向完全图。

• 设 G =<V,E> , $G1$= $<V1,E1>$
  (1) 若G $\subseteq$G ，则称 G1为G的子图，G为G1的母图；
  (2) 若G1$\subseteq$ G 且V1=V，则称G1为G的生成子图；
  (3) 若V1$\subset$V或E1 $\subset$E，称G1为G的真子图；
  (4) V1（V1$\subset$V且V1不为空）的导出子图，记作G[V1]；
  (5) E1（E1$\subset$E且E1不为空）的导出子图，记作G[E1]。

• 设G=<V, E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图$k_n$的添加边组成的集合为边集的图， 称为G的补图，记作$\overline{G}$。

• 出度: 在有向图中, 对于任何结点v,以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg${}^{+}$(v);

• 入度: 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度),记为deg ${}^{-}$(v);

• 度数: 结点v的引出次数和引入次数之和称为结点v的次数(或度数),记作 deg(v) 。

• 在无向图中 ,结点v的度数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。

• 孤立结点的次数为零。

• 握手定理: 设G=<V,E>为任意无向图, V={$v_1,v_2,v_3,....,v_n$}, 所有的点的度数之和等于2倍的边的条数

• 握手定理: 设G=<V,E>为任意有向图, V={$v_1,v_2,v_3,....,v_n$}, 所有的点的度数之和等于2倍的边的条数, 并且出度和入度相等并等于边数.

• 任何图 (无向或有向)中，度为 奇数的结点的个数是偶数。

• 各结点的度数均相同的图称为正则图,各结点的次数 均为k时称为k―正则图。

• 图的同构:设G1=$<V_1,E_1>$, G2=$<V_2,E_2>$为两个无向图(两个有向图)，若存在双射函数f: V1$\to$V2 , 对于vi, vj$\in$V1 ,
  (vi, vj)$\in$E1当且仅当 $(f(v_i),f(v_j))\in$$E_2$
  ($<v_i,v_j>$$\in$E1当且仅当 $<f(v_i),f(v_j)>\in$$E_2$ )
  并且, ($v_i$ ,$v_j$)（$<v_i,v_j>$）与 $(f(v_i),f(v_j))$（$(<f(v_i),f(v_j)>$）的重数相同，则称$G_1$与$G_2$是同构的.
  两图同构必要条件:
  (1) 结点数相等;
  (2) 边数相等;
  (3) 度数相同的结点数相等.
  但这不是充分条件。