离散数学 - 谓词公式

谓词公式

原子谓词公式定义:

  由n原谓词P和n个个体变元x1, x2, …, xn构成的不包含 任何量词和命题联结词的式子P(x1, x2, …, xn )称为原子谓词公式。

谓词公式递归定义:

1. 原子谓词公式$P(x)$是谓词公式;
2. 若P(x)是谓词公式，则$\forall P(x)$，$\exists xP(x)$ 也是谓词公式;
3. 若$A$, $B$是谓词公式，则$\neg A$ ， $A\vee B$, $A\wedge B$, $A\to B$, $A\leftrightarrow B$也是;
4. 只有有限次地应用(1)—(3) 形成的符号串才是谓词公式

辖域,约束变元,自由变元:

对一个量词，若后面有括号，则括号内的公式为该量词的辖域；若后面无括号，则紧跟量词后面的最小的子公式 就是该量词的辖域。
注：若两个量词相邻，则后一个量词在前一个量词的辖域内.
在量词辖域中出现的变元称为约束变元，不在量词辖域中出现的变元称为是自由变元

变元改名:

即使每个个体变元只以一种形式出现在公式中:

1. 只对约束变元改名，不对自由变元改名;
2. 改名必须处处进行，即对约束变元改名时，必须对该量词辖域内的每个受该量词约束的约束变元改名;
3. 改名后的符号必须是该量词辖域内未出现过的符号，最好是整个公式中未出现过的符号;
4. 改名前后公式的含义不变。

谓词公式的指派:

设谓词公式A中含n个自由个体变元$x_1,x_2,...,x_n$和k个命题变元$p_1,p_2,...,p_k$，则$x_1,x_2,...,x_n,p_1,p_2,...,p_k$的一组取值称作谓词公式A的一个指派。

谓词等值式

定义6：若设A, B是两个谓词公式, 如果A$\leftrightarrow$B是永真式, 则称A与B等值, 记作A$\iff$B, 并称A$\iff$B是等值式。

基本等值式:

由命题等值式推广出的谓词等值式.

一元谓词等值式:

1. 消去量词等值式
   对于:D={a1,a1,...,an,}D= \{a_1,a_1,...,a_n,\}D={a1​,a1​,...,an​,}
   $\forall xA(x)\iff A(a_1)\wedge A(a_1)\wedge A(a_1)\wedge ...A(a_n)$
   $\exists xA(x)\iff A(a_1)\vee A(a_1)\vee A(a_1)\vee ...A(a_n)$

2. 量词否定等值式
   $\neg \forall xA(x)\iff \exists x\neg A(x)$
   $\neg \exists xA(x)\iff \forall x\neg A(x)$

3. 量词辖域收缩与扩张等值式:
   A(x) 是含 x 自由出现的公式，B 中不含 x 的自由出现
   关于全称量词的:
   $\forall x(A(x)\vee B)\iff \forall xA(x)\vee B$
   $\forall x(A(x)\wedge B)\iff \forall xA(x)\wedge B$
   $\forall x(A(x)\to B)\iff \exists xA(x)\to B$
   $\forall x(B\to A(x))\iff B\to \forall xA(x)$
   关于存在量词的：
   $\exists x(A(x)\vee B)\iff \exists xA(x)\vee B$
   $\exists x(A(x)\wedge B)\iff \exists xA(x)\wedge B$
   $\exists x(A(x)\to B)\iff \forall xA(x)\to B$
   $\exists x(B\to A(x))\iff B\to \exists xA(x)$

4. 量词分配等值式:
   $\forall x(A(x)\wedge B(x))\iff \forall xA(x)\wedge \forall xB(x)$
   $\exists x(A(x)\vee B(x))\iff \exists xA(x)\vee \exists xB(x)$
   $\forall xA(x)\vee \forall xB(x)\Rightarrow \forall x(A(x)\vee B(x))$
   $\exists x(A(x)\wedge B(x))\Rightarrow \exists xA(x)\wedge \exists xB(x)$

二元谓词等值式:

$\forall x\forall yA(x,y)\iff \forall y\forall xA(x,y)$
$\exists x\exists yA(x,y)\iff \exists y\exists xA(x,y)$

注意:两个相邻量词的性质不同时,一般不可以互换.

前束范式:

定义: 设A为一个一阶逻辑公式,若A中的量词只在前面.则成之为前束范式.

前束范式存在定理: 任一谓词公式都存在与之等值 的前束范式。

注意: 前束范式不唯一