数据结构 | 图

图的基本概念

  图是一种非线性结构。在图中，每个结点可以有任意个前驱、任意个后继。
　 图中的结点称为顶点，结点的偶对 称为边。
　 图分为有向图和无向图。
　 有向图： 指代表一条边的偶对是有序的。用 <u,v> 代表有向图中的一条有向边。u称为边的始点，v称为边的终点。对于边而言，<u,v>称这条边与顶点u与v相关联；对于顶点而言，<u,v>指顶点u 邻接到 顶点v，顶点v 临界自 顶点u。
　 无向图： 指代表一条边的偶对是无序的。用 (u,v) 代表无向图中的边。对于边而言，(u,v)称这条边与顶点u与v相关联；对于顶点而言，(u,v)称顶点u和顶点v相邻接。
　 完全图： 如果一个图有最多的边数，称为完全图。
　 无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边。

偶对：个人理解就是两个顶点成对，表示两个顶点之间的边。

示例：

顶点集合: V(G1) = V(G2) = {0，1，2，3，4}
边集合: E(G1) = {(0,1),(0,2),(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)}
　 　　 E(G2) = {<0,2>,<1,0>,<2,1>,<2,4>,< 3,1 >,< 3,2 >, < 3,4 >}

  子图： 图G的一个子图记作图G’ = (V’, E’)，使得V’(G’)⊆V(G), E’(G’)⊆E(G)。
　 路径： 在无向图G中，一条从s到t的路径 是一个顶点的序列：（s,v1,v2, …, vk, t ），使得(s, v1),(v1, v2), …,(vk , t ) 是图G的边。若图G是有向图，则该路径使得<s, v1>,<v1,v2>…,<vk,t>是图G的边。
　 路径长度： 路径上边的数目。

  连通图： 若图中任意一对顶点都是连通的，则称此图是连通图 。（无向图中，若两个顶点u和v之间存在一条从u到v的路径，则称u和v是连通的。）
　 强连通图： 有向图中，若任意一对顶点u和v间 存在一条从u到v的路径和一条从v到u的路径（任意两顶点间有双向路径），则称此图是强连通图。
　 连通分量： 无向图中的极大连通子图。
　 强连通分量： 有向图的极大强连通分量。
　 度： 无向图中，顶点的度等于与该顶点相关联的边的数目。
　　 　 有向图中，顶点v的入度是以v为终点(头)的边的数目，出度是以v为起点(尾)的边的数目。
　 生成树： 无向连通图的生成树是一个极小连通子图，它包括图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。
　 有根有向树： 属于有向图，只有一个顶点入度为0（看作是尾巴，最后一个顶点），其余顶点的入度为1。如果略去边的方向变成无向图后，图是连通的。比如0－＞1－＞2－＞3这么一个图。
　 有向无环图： 不包含回路的有向图。
　 生成森林： 有向图的生成森林由若干个互不相交的有根有向图组成，这些图包含了图中全部顶点。
　 带权的图： 在图的每条边上加上一个数字作权，称为带权的图或网。

图的存储结构

图的邻接矩阵表示法

有向图的邻接矩阵：
$$A[u][v]=\{\begin{array}{l}1，当<u,v>\in E即存在u到v的边\\ 0，其他\end{array}$$
无向图的邻接矩阵：
$$A[u][v]=\{\begin{array}{l}1，当(u,v)\in E或(v,u)\in E即u,v之间连通\\ 0，其他\end{array}$$
带权的有图(网)的邻接矩阵：
$$A[u][v]=\{\begin{array}{l}1或w(u,v)，当<u,v>\in E\\ 0，当u=v即主对角线元素\\ \infty ，当<u,v>\notin E\end{array}$$

图的邻接表表示法

边结点：

带权的边结点：

顶点结点：

示例：

1. 一个有向图与它的邻接表
   
2. 一个无向图与它的邻接表
   
3. 一个有权的图(网)与它的邻接表
   

图的遍历

 给定一个图和其中任意一点顶点v, 从v出发系统地（按照一定规则）访问图的全部顶点，且使每个顶点仅被访问一次，这个过程称为图的遍历。
　图的遍历方法有两种：深度优先遍历DFS和广度优先遍历BFS。具体讲解详见图/树的遍历：深度优先遍历DFS和广度优先遍历BFS详解与java实现