正交矩阵与几何

绪论

由于正交矩阵在几何领域对应旋转矩阵，所以搞清楚正交矩阵的数学性质对理解其几何性质有帮助。故在此记录正交矩阵在线性代数中的一些理论。

正交矩阵

正交矩阵是实方阵。这说明一个正交矩阵首先要有两个先决条件：

1. 方阵
2. 数域是实数域

正交矩阵的行、列向量组都是标准正交向量组。这个限制更强了。

定义

设 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，如果 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{I}$。就称 $\mathbf{A}$ 为正交矩阵。

谁能想到，仅仅只用了一个等式竟然蕴含这么多的信息，给了一个这么强的约束。

定理1

$\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶正交矩阵的充分必要条件是 $\mathbf{A}$ 的列向量组 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组标准正交基。

矩阵层次的性质和组成其的向量组联合在一起了~

证明：
设
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1r}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2r}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nr}\end{array}\right]$$

按列分块为
$$[\begin{array}{cccc}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2& \dots & {\mathbf{a}}_n\end{array}$$