JZOJ3296. 【SDOI2013】刺客信条

Description

故事发生在1486 年的意大利，Ezio 原本只是一个文艺复兴时期的贵族，后来因为家族成员受到圣殿骑士的杀害，决心成为一名刺客。最终，凭借着他的努力和出众的天赋，成为了杰出的刺客大师，他不仅是个身手敏捷的武林高手，飞檐走壁擅长各种暗杀术。刺客组织在他的带领下，为被剥削的平民声张正义，赶跑了原本统治意大利的圣殿骑士首领-教皇亚历山大六世。在他的一生中，经历了无数次惊心动魄、扣人心弦的探险和刺杀。
曾经有一次，为了寻找Altair 留下的线索和装备，Ezio 在佛罗伦萨中的刺客墓穴进行探索。这个刺客墓穴中有许多密室，且任何两个密室之间只存在一条唯一的路径。这些密室里都有一个刺客标记，他可以启动或者关闭该刺客标记。为了打开储存着线索和装备的储藏室，Ezio 必须操作刺客标记来揭开古老的封印。要想解开这个封印，他需要通过改变某些刺客标记的启动情况，使得所有刺客标记与封印密码“看起来一样”。在这里，“看起来一样”
的定义是：存在一种“标记”密室与“密码”密室之间一一对应的关系，使得密室间的连接情况和启动情况相同(提示中有更详细解释)。幸运的是，在Ezio 来到刺客墓穴之前，在Da Vinci 的帮助下，Ezio 已经得知了打开储藏室所需要的密码。
而你的任务则是帮助Ezio 找出达成目标所需要最少的改动标记次数。

Input

第一行给出一个整数n，表示密室的个数。
第二行至第n 行，每行给出两个整数a 和b，表示第a 个密室和第b 个密室之间存在一条通道。
第n+1 行，给出n 个整数，分别表示当时每个密室的启动情况(0 表示关闭，1 表示启动)。
第n+2 行，给出n 个整数，分别表示密码中每个密室的启动情况。

Output

输出只有一行，即输出最少改动标记次数。

Sample Input

4

1 2

2 3

3 4

0 0 1 1

1 0 0 0

Sample Output

1

Data Constraint

对于30%的数据，n<=10。
对于60%的数据，n<=100。
对于100%的数据，n<=700，且每个密室至多与11 个密室相通。

Hint

样例解释：
密室的编号是可以变的！将第三个密室关闭后，在当前标记和密码之间，存在1->4,2->3,3->2,4->1 的对应关系，重新编号后连接情况没有改变，且标记与密码对应。对于更一般的情况，存在一个1 到n 的置换P，使得对于任意密室之间的道路u-v，都一定有密码密室中的道路P(u)-P(v)；如果不存在密室之间的道路u-v，则一定没有密码密室中的道路P(u)-P(v)。

(题目背景吐槽：圣殿骑士团，在14世纪初被灭，根本不可能出现在1486年。)

灵感来自：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_30932215/article/details/98347121

正解：

题目大意即：可以将一颗树随便转，要和原来的树同构，然后将两棵树对应的点异或之和取min。

确定原来树的重心为根，这样新的树的根就确定了。若重心有两个，则删掉两点连边，新开一个根节点(重心)连接两重心。(这样处理比较方便)

关于树哈希(详见oi-wiki)，先存下来原先的树，后面依次搞新的树，要开long long。

枚举新的树的根，每次都做dp。f[x][y]表示 新的树以x为根的子树 与 原树以y为根的子树 相对应的异或之和。

对于每对x,y(意义同上)，如何选择各自儿子的匹配？由于儿子<=11，可以用状压DP(或费用流)。g[a][b]表示匹配完了x的儿子的前i个，b表示y的儿子的匹配状态，最后用g[都匹配完]更新当前f[x][y]。

记得统计答案。

code如下，码量较大，逾200行，3000byte。

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 1000000007
#define base 2333
#define mod (long long)((1e9)+7)
#define mid (l+r)/2
using namespace std;
int n,m,h[100005],cnt,a[1005],goal[1005],ans,fa[1005],g[15][(1<<11)+5];
int rt1,rt2,rt,size[1005],w[1005],f[1005][1005],N,fu[1005];
long long hosh[1005],hash[1005],tmp;
struct node{
    int next,to,bz;
}e[100005];
int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
void add(int x,int y)
{
    //printf("Ok\n");
    e[++cnt].to=y;
    e[cnt].bz=1;
    e[cnt].next=h[x];
    h[x]=cnt;
}
void certroid(int x,int fa)
{
    size[x]=1;
    w[x]=0;
    for(int i=h[x];i;i=e[i].next)
    {
        //printf("OK\n");
        int y=e[i].to;
        if(y!=fa)
        {
            certroid(y,x);
            size[x]+=size[y];
            w[x]=max(w[x],size[y]);
        }
    }
    w[x]=max(w[x],n-size[x]);
    //printf("node[%d]s=%d w=%d\n",x,size[x],w[x]);
    if(w[x]<=n/2)
    {
        if(!rt1)rt1=x;
        else rt2=x;
    }
}
void hdfs(int x)
{
    //printf("Ok %d %d\n",x,fa[x]);
    int tot=0;
    long long ans,a[15];
    size[x]=1;hash[x]=0;
    for(int i=h[x];i;i=e[i].next)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y!=fa[x]&&e[i].bz)
        {
            fa[y]=x;
            hdfs(y);
            size[x]+=size[y];
            a[++tot]=hash[y];
        }
    }
    sort(a+1,a+tot+1);ans=0;
    //if(x==4)printf("find %lld\n",ans);
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        ans=ans*base+a[i];
    }
    ans=ans*base+size[x]+1;
    hash[x]=ans;
}
void dp(int x,int u)
{
    //printf("ber %d-%d %d-%d\n",x,fa[x],u,fa[u]);
    f[x][u]=(a[x]^goal[u]);
    int sona[15],sonb[15],la=0,lb=0;
    for(int i=h[x];i;i=e[i].next)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y!=fa[x]&&e[i].bz)
        {
            sona[++la]=y;
        }
    }
    if(!la)
    {
        return;
    }
    for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y!=fu[u]&&e[i].bz)
        {
            sonb[++lb]=y;
        }
    }
    for(int i=1;i<=la;i++)
    {
        for(int j=1;j<=lb;j++)
        {
            if(hash[sona[i]]==hash[sonb[j]])
            {
                dp(sona[i],sonb[j]);
        //    if(x==1&&u==1)printf("f[%d][%d]=%d\n",sona[i],sonb[j],f[sona[i]][sonb[j]]);
            }
        }
    }
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    int ber=g[0][0];g[0][0]=0;
    for(int i=0;i<la;i++)
    {
        for(int s=0,ss;s<(1<<lb);s++)
        {
            if(g[i][s]>=ber)continue;
            for(int j=1;j<=lb;j++)
            {
            //if(x==2&&u==3&&i==0&&j==1&&!s)printf("BER\n");
                if(((1<<(j-1))&s)==0)
                {
                    if(hash[sona[i+1]]==hosh[sonb[j]])
                    {
                        ss=s+(1<<(j-1));;
                        g[i+1][ss]=min(g[i+1][ss],g[i][s]+f[sona[i+1]][sonb[j]]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    f[x][u]+=g[la][(1<<lb)-1];
    //if(x==2&&u==3)printf("F %d %d\n",f[2][3],f[1][4]);
}
int main ()
{
    //freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout);
    n=read();cnt=1;
    for(int i=1,x,y;i<n;i++) 
    {
        x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=read();
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        goal[i]=read();
    }
    certroid(1,1);
    //printf("rt=%d %d\n",rt1,rt2);
    if(rt2)
    {
        for(int i=h[rt1];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to;
            if(y==rt2)
            {
                e[i].bz=e[i^1].bz=0;    
            }
        }
        add(n+1,rt1);add(rt1,n+1);
        add(n+1,rt2);add(rt2,n+1);
        rt=N=n+1;
    }else rt=rt1,N=n;
    
    
    fa[rt]=rt;
    hdfs(rt);
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        hosh[i]=hash[i];
        //printf("ber=%lld\n",hosh[i]);
        fu[i]=fa[i];
    }
    tmp=hosh[rt],ans=inf;
    //printf("rt=%d\n",rt);
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        fa[i]=i;
        //memset(size,0,sizeof(size)); 
        hdfs(i);
        long long ber=hash[i];
        //printf("Ok %lld-%lld\n",ber,tmp);
        if(ber==tmp)
        {
            //printf("OK %d\n",i);
            memset(f,0x3f,sizeof(f));
            dp(i,rt);
            ans=min(ans,f[i][rt]);
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

Code