IMU误差模型—手写VIO课程笔记1

最新推荐文章于 2023-11-30 19:32:02 发布

BlueAkoasm

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## 本文为博主学习手写VIO课程笔记-1

$% \f is defined as #1f(#2) using the macro \f\relax{x} = \int_{-\infty}^\infty \f\hat\xi\,e^{2 \pi i \xi x} \,d\xi$ 一、随机误差

误差分类：确定性误差随机误差

确定性误差通过标定确定，包括bias scale

Bias：实际数据存在的一个偏置b，加速度计的bias对位姿估计的影响：

Scale：实际数值和传感器输出值之间的比值

标定：六面法，将加速度计3个轴分别朝上或者朝下水平放置一段时间，采集6个面的数据

如果各个轴都是正交的，可以得到

随机误差（假设噪声服从高斯分布），包括高斯白噪声、bias随机游走

高斯白噪声：IMU数据连续时间上受到一个均值为0，方差为σ，各时刻之间相互独立的高斯过程n(t):

Bias随机游走：用维纳过程来建模bias随时间连续变化的过程，离散时间下称为随机游走。

实际上,IMU传感器获取的数据为离散采样，离散和连续高斯白噪声存在何种关系？

高斯白噪声的连续时间到离散时间之间差一个1/√△t，√△t是传感器的采样时间。

bias随机游走的噪声方差从连续时间到离散之间需要乘以√△t。

IMU随机误差标定：

艾伦方差标定random walk noise

流程如下：

1.保持传感器绝对静止获取数据

2.对数据进行分段，设定时间段的时长，如下图：

3.将传感器数据按照时间段进行平均

4.计算方差，绘制艾伦曲线。

得到的曲线如下图所示：

曲线上，斜率为-0.5的部分对应随机游走误差，其数值为曲线在τ=1s的值；斜率为0的部分对应零偏不稳定性误差，其数值为曲线的最低点。

二、数学模型

加速度计：导航系G为东北天， $g^G = (0,0,-9.81)^T$ ,理论测量值为 $a_m^b = R_b_G(a^G-g^G)$ ,如果考虑高斯白噪声，bias以及尺度因子，则为 $a_m^b = S_aR_b_G(a^G-g^G) + n^a + b^a$ ,通常假设尺度因子为单位矩阵。

陀螺仪：考虑尺度因子，高斯白噪声，以及bias，陀螺仪误差模型为， $w_m^b = S_g\omega ^b + n^g + b^g$ ,低端传感器，考虑加速度对陀螺仪的影响，即g-灵敏度： $w_m^b = S_g\omega ^b + s_g_aa^b + n^g + b^g$

三、运动模型离散时间处理

1.VIO中的IMU模型：

忽略scale影响，只考虑白噪声和bias随机游走：

补充：四元数的乘法， $q_1\bigotimes q_2 = \begin{bmatrix} s_1 & -v_1^T \\ v_1 & s_1I+v^\wedge \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_2\\ v_2 \end{bmatrix}$

四元数导数证明：假设某个旋转运动的旋转轴为单位向量u，绕该轴旋转的角度为θ，那么对应的单位四元数为：

$q = \begin{bmatrix} cos\cfrac{\theta }{2}\\ usin\cfrac{\theta}{2}\\ \end{bmatrix}$ ,当旋转一段微小的时间时，即旋转角度趋于零时， $\triangle q = \begin{bmatrix} cos\cfrac{\delta \theta }{2}\\ usin\cfrac{\delta \theta }{2} \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1\\ u\cfrac{\delta \theta }{2}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ \cfrac{1 }{2}\delta \theta \\ \end{bmatrix}$

则四元数的导数为： $\dot{q} = \lim_{\triangle t\rightarrow 0}\cfrac{q(t+\triangle t)-q(t)}{\triangle t}= \lim_{\triangle t\rightarrow 0}\cfrac{q\bigotimes \triangle q-q}{\triangle t} =\lim_{\triangle t\rightarrow 0}\cfrac{q\bigotimes (\begin{bmatrix} 1\\ \cfrac{1}{2}\delta \theta \\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix})}{\triangle t} = q\bigotimes \begin{bmatrix} 0\\ \cfrac{1}{2}\omega \\ \end{bmatrix}$

其中， $\omega = \lim_{\triangle t\rightarrow 0}\cfrac{\delta \theta }{\triangle t}$

2.连续时间下的IMU运动模型

根据上面的对时间的导数，可以从第i时刻的PVQ，通过对IMU的测量值进行积分，得到第j时刻的PVQ

对于这三个公式的推导，从下往上推，先计算第j时刻的Q，IMU测量的是当前时刻q到下一时刻q的变化值，相当于 $q_b_j = q(i,i+1)*q(i+1,i+2)......q(j-1,j)$ ,是一个连乘的关系

速度V = V0 + at，其中的加速度a是将当前测量值转到世界坐标系中，然后计算实际的加速度

$P = p_0 + vt + \cfrac{1}{2}at^2$ ,积分后即是上面的式子