acwing 859 Kruskal算法求最小生成树

该程序使用Kruskal算法,通过并查集数据结构寻找图的最小生成树。首先对边按权重排序,然后遍历边,若两个顶点不在同一集合,则合并集合并将边权重累加,直至找到n-1条边。若最终边数少于n-1,表示无解。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

思路:图初始化完成后,将图内所有的边的权按照从小到大排,然后借用并查集的思想将所有点各自初始为一个集合,如果两个点存在某种方式连通,则将两个点的集合并起来,表示两点连通了,并将对应边的权累加上去,直到循环结束,如果结果发现集合内边不等于节点数-1,那么则说明不存在最小生成树。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int M = 1e5 + 10, N = M * 2;         

int n,m,p[M];

struct edge
{
    int a,b,w;

     bool operator< (const edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[N];

int find(int x)//具体可看连通块那一节的笔记
{
    if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
} 

int kruskal()
{
    int res=0,cnt=0;//res记录最小生成树所有边的权重和,cnt记录的是加入到最小树中边的数量
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a=edges[i].a,b=edges[i].b,w=edges[i].w;
        if(find(a)!=find(b))
        //看a,b在不在同一个集合内,这里在不在一个集合可看作有没有连通起来
        //如果两者已经在一个集合,再执行以下三行的话就会出现环,树是不允许出现环的
        {
            p[find(a)]=p[find(b)];//将a,b所在的两个集合合并起来
            cnt++;//加入a<->b边
            res+=w;//把a<->b边的权重加上去
        }
    }

    if(cnt < n-1) return 0x3f3f3f3f;//因为树共有n个节点,如果全连通应该最后结果集合内会有n-1条边
    else return res;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;

    for(int i=0;i<n;i++) p[i]=i;//初始化并查集

    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        edges[i]={a,b,w};
    }

    sort(edges,edges+m);//将边的权重按照从小到大排

    int t = kruskal();

    if(t==0x3f3f3f3f) printf("impossible\n");
    else printf("%d\n",t);

    return 0;
}
### AcWing 平台上的最小生成树相关内容 #### 1. **Prim 算法** Prim 算法是一种用于解无向加权连通图的最小生成树的经典算法。它通过逐步扩展已有的部分生成树来构建最终的最小生成树。对于稠密图(即边的数量较多的情况),通常推荐使用 Prim 算法。 以下是基于 AcWing 858 题目的 Python 实现代码: ```python import sys def prim(n, graph): visited = [False] * n dist = [float('inf')] * n dist[0] = 0 res = 0 for _ in range(n): min_dist = float('inf') u = -1 for i in range(n): if not visited[i] and dist[i] < min_dist: min_dist = dist[i] u = i if u == -1 or min_dist == float('inf'): return 'impossible' visited[u] = True res += min_dist for v in range(n): if not visited[v] and graph[u][v] != 0 and graph[u][v] < dist[v]: dist[v] = graph[u][v] return res n, m = map(int, input().split()) graph = [[0]*n for _ in range(n)] for _ in range(m): u, v, w = map(int, input().split()) graph[u][v] = graph[v][u] = w print(prim(n, graph)) ``` 上述代码实现了朴素版的 Prim 算法,适用于稠密图场景[^1]^。 --- #### 2. **Kruskal 算法** Kruskal 算法也是一种经典的最小生成树算法,其核心思想是对所有的边按照权重从小到大排序,并依次尝试加入当前生成树中,同时利用并查集防止形成环路。该算法更适合处理稀疏图(即边数量较少的情况)。 以下是基于 AcWing 859 题目的 Python 实现代码: ```python class UnionFind: def __init__(self, n): self.parent = list(range(n)) def find(self, x): if self.parent[x] != x: self.parent[x] = self.find(self.parent[x]) return self.parent[x] def union_set(self, x, y): fx, fy = self.find(x), self.find(y) if fx != fy: self.parent[fy] = fx return True return False def kruskal(n, edges): uf = UnionFind(n) edges.sort(key=lambda edge: edge[2]) # Sort by weight total_weight = 0 count_edges = 0 for u, v, w in edges: if uf.union_set(u, v): # If no cycle is formed total_weight += w count_edges += 1 if count_edges == n - 1: # All nodes are connected break if count_edges != n - 1: return 'impossible' return total_weight n, m = map(int, input().split()) edges = [] for _ in range(m): u, v, w = map(int, input().split()) edges.append((u, v, w)) result = kruskal(n, edges) print(result) ``` 此代码展示了 Kruscal 算法的核心逻辑及其适用条件[^2]^。 --- #### 3. **两种算法的选择依据** - 当图较为密集时(点少而边多),建议采用 Prim 算法。 - 如果图较稀疏(点多而边少),则更倾向于使用 Kruscal 算法[^5]^。 --- #### 4. **应用场景** 最小生成树广泛应用于网络设计、路径规划等领域。例如,在城市间铺设光纤电缆时,可以通过计算最小生成树找到成本最低的连接方案[^3]^。 ---
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值