acwing 853 有边数限制的最短路

文章介绍了如何利用Bellman-Ford算法处理含有负权边且存在最大边数限制的图论问题。通过初始化距离数组并进行多次松弛操作更新节点距离,同时为了避免负权边导致的错误,使用备份数组记录上一轮迭代结果。最终根据目标节点的距离判断是否存在可达路径。

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思路:因为本题同时存在负权边边数长度限制,所以采用bellman_ford算法,其核心是重复松弛。每回松弛都会把所有边都更新一遍,第一层循环实际效果是限制更新范围 即:距离原点边数条数<=i的点对应的dist数组值都将得到实际更新,距离限制以外的点虽然也会被更新到但是会依旧保留 ∞ ,第二层循环内容就是遍历更新所有的边,找出最小边,更新对应的值。

为了避免单轮更新内,靠后数据通过前面新更新的数据而非正常变动进而影响了k的判断(即更新次数实际>k)的情况,需要新开一个同等规模的数组保留上一轮迭代的结果,在上一轮迭代基础上改动,避免上述情况。

p.s.为什么要用0x3f3f3f3f / 2 作为是否能到达n点的判断,可以这样理解:

我们设置0x3f3f3f3f本意是表示无法到达n点,而单纯如果用0x3f3f3f3f (1061109567)这单个值作为判断标准是不够严谨的,因为图中会出现负权边,那么结果中可能会出现0x3f3f3f3f -2(1061109565)这样和0x3f3f3f3f一个数量级但是能通过更新的例子,进而带动其他边的更新,很显然,0x3f3f3f3f和0x3f3f3f3f - 2都应该被视作为 ∞,而一般给的数据很难达到这样的数量级,所以需要 / 2缩小一个范围避免上述情况的出现。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 510,M = 1e4 + 10;

int n,m,k;
int dist[N],backup[N];//dist保存距离原点的距离,backup保存上一次迭代的结果

struct edge
{
    int a,b,w;//两个端点和权
}edges[M];

void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f,sizeof dist);//依旧是用0x3f3f3f3f作为 边数限制内不存在通路
    dist[1] = 0;//原点到原点距离为0
    for(int i = 0;i < k;i++)//k是限制的边数,超过k也是无边可达
    {
        memcpy(backup,dist,sizeof dist);//保存上一次循环的结果
        for(int j = 0; j< m;j++)//遍历所有边
        {
            int a = edges[j].a ,b = edges[j].b, w = edges[j].w;//传递结构体的值
            dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);//为避免本轮更新的数据在本轮循环内给其他数据用,所以用一个backup作为备份
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 0;i < m;i++)
    {
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }
    bellman_ford();
    if(dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible");
    else cout << dist[n];
    
    
    return 0;
}

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