正文
对于一个m∗nm*nm∗n的矩阵AAA,有四个基本的子空间
- ①它的列空间可以表示为: Col(A)Col(A)Col(A),假设维度为rrr;
- ②它的零空间可以表示为: Null(A)Null(A)Null(A),零空间是矩阵的行空间的正交空间,维度为n−rn-rn−r;
- ③它的行空间可以表示为: Col(AT)Col(A^T)Col(AT),矩阵的行向量转置后变成列向量,所以矩阵行向量构成的行空间在矩阵转置后对应矩阵的列空间,进而表示为转置矩阵的列空间,维度等于矩阵列空间的维度也就是矩阵的秩rrr;
- ④它的左零空间Null(AT)Null(A^T)Null(AT),指的是矩阵转置后,其列向量变成了行向量,转置矩阵构成的线性方程组ATx=0A^{T}x=0ATx=0的解xxx所构成的向量空间就是矩阵AAA的左零空间,它是矩阵列空间的正交空间,维度等于m−rm-rm−r。
左零空间的 “左” 释意
一个矩阵的左零空间是矩阵的列空间的正交空间,矩阵转置后原矩阵的列空间变为行空间,建立线性系统ATx=0A^{T}x=0ATx=0,则这个线性系统的解xxx就是原矩阵列空间的正交空间,也称为左零空间;
求矩阵AAA的转置的零空间,建立如下线性系统
ATx=0→(ATx)T=0A^Tx=0 \to (A^{T}x)^{T} = 0ATx=0→(ATx)T=0
xT⋅A=0x^{T} \cdot A = 0xT⋅A=0
x′⋅A=0x^{'} \cdot A =0x′⋅A=0
可以看到,化简到最后,求矩阵AAA的转置ATA^{T}AT的零空间,化成了与直接与矩阵A关联的线性系统x′⋅A=0x^{'} \cdot A =0x′⋅A=0,相比直接求矩阵AAA的零空间xxx右乘的形式A⋅x=0A \cdot x=0A⋅x=0,线性系统x′⋅A=0x^{'} \cdot A =0x′⋅A=0的解x′x^{'}x′左乘了矩阵AAA,所以,称矩阵AAA的转置ATA^{T}AT的零空间为矩阵AAA的左零空间。