线性代数：矩阵的四大子空间 之 “左零空间”

正文

对于一个$m\ast n$的矩阵$A$，有四个基本的子空间

• ①它的列空间可以表示为: $Col(A)$，假设维度为$r$；
• ②它的零空间可以表示为: $Null(A)$，零空间是矩阵的行空间的正交空间，维度为$n-r$；
• ③它的行空间可以表示为: $Col(A^T)$，矩阵的行向量转置后变成列向量，所以矩阵行向量构成的行空间在矩阵转置后对应矩阵的列空间，进而表示为转置矩阵的列空间，维度等于矩阵列空间的维度也就是矩阵的秩$r$；
• ④它的左零空间$Null(A^T)$，指的是矩阵转置后，其列向量变成了行向量，转置矩阵构成的线性方程组$A^{T}x=0$的解$x$所构成的向量空间就是矩阵$A$的左零空间，它是矩阵列空间的正交空间，维度等于$m-r$。

左零空间的 “左” 释意

一个矩阵的左零空间是矩阵的列空间的正交空间，矩阵转置后原矩阵的列空间变为行空间，建立线性系统$A^{T}x=0$，则这个线性系统的解$x$就是原矩阵列空间的正交空间，也称为左零空间；

求矩阵$A$的转置的零空间，建立如下线性系统
$A^{T}x=0\to (A^{T}x{)}^T=0$
$x^T\cdot A=0$
$x^{{}^{\prime }}\cdot A=0$
可以看到，化简到最后，求矩阵$A$的转置$A^T$的零空间，化成了与直接与矩阵A关联的线性系统$x^{{}^{\prime }}\cdot A=0$，相比直接求矩阵$A$的零空间$x$右乘的形式$A\cdot x=0$,线性系统$x^{{}^{\prime }}\cdot A=0$的解$x^{{}^{\prime }}$左乘了矩阵$A$，所以，称矩阵$A$的转置$A^T$的零空间为矩阵$A$的左零空间。

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