线性代数:矩阵的四大子空间 之 “左零空间”

正文

对于一个 m ∗ n m*n mn的矩阵 A A A,有四个基本的子空间

  • ①它的列空间可以表示为: C o l ( A ) Col(A) Col(A),假设维度为 r r r
  • ②它的零空间可以表示为: N u l l ( A ) Null(A) Null(A),零空间是矩阵的行空间的正交空间,维度为 n − r n-r nr
  • ③它的行空间可以表示为: C o l ( A T ) Col(A^T) Col(AT),矩阵的行向量转置后变成列向量,所以矩阵行向量构成的行空间在矩阵转置后对应矩阵的列空间,进而表示为转置矩阵的列空间,维度等于矩阵列空间的维度也就是矩阵的秩 r r r
  • ④它的左零空间 N u l l ( A T ) Null(A^T) Null(AT),指的是矩阵转置后,其列向量变成了行向量,转置矩阵构成的线性方程组 A T x = 0 A^{T}x=0 ATx=0的解 x x x所构成的向量空间就是矩阵 A A A的左零空间,它是矩阵列空间的正交空间,维度等于 m − r m-r mr

左零空间的 “左” 释意

一个矩阵的左零空间是矩阵的列空间的正交空间,矩阵转置后原矩阵的列空间变为行空间,建立线性系统 A T x = 0 A^{T}x=0 ATx=0,则这个线性系统的解 x x x就是原矩阵列空间的正交空间,也称为左零空间

求矩阵 A A A的转置的零空间,建立如下线性系统
A T x = 0 → ( A T x ) T = 0 A^Tx=0 \to (A^{T}x)^{T} = 0 ATx=0(ATx)T=0
x T ⋅ A = 0 x^{T} \cdot A = 0 xTA=0
x ′ ⋅ A = 0 x^{'} \cdot A =0 xA=0
可以看到,化简到最后,求矩阵 A A A的转置 A T A^{T} AT的零空间,化成了与直接与矩阵A关联的线性系统 x ′ ⋅ A = 0 x^{'} \cdot A =0 xA=0,相比直接求矩阵 A A A的零空间 x x x右乘的形式 A ⋅ x = 0 A \cdot x=0 Ax=0,线性系统 x ′ ⋅ A = 0 x^{'} \cdot A =0 xA=0的解 x ′ x^{'} x左乘了矩阵 A A A,所以,称矩阵 A A A的转置 A T A^{T} AT的零空间为矩阵 A A A的左零空间。


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