线性代数系列（六）--四个基本子空间

最新推荐文章于 2024-03-06 16:00:11 发布

原创最新推荐文章于 2024-03-06 16:00:11 发布 · 1.8k 阅读

7 ·

CC 4.0 BY-SA版权

线性代数专栏收录该内容

20 篇文章

订阅专栏

本文深入探讨了矩阵的四个基本子空间：列空间、零空间、行空间和转置的零空间（左零空间）。详细讲解了这些子空间的定义、性质、维数以及如何寻找它们的基。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

主要内容

列空间
零空间
行空间
转置的零空间 $N(A^T)$

正文

列空间，在前面已经有详细的介绍，总得来说，一个矩阵的列空间，就是指该矩阵中列向量的所有的线性组合。
零空间，之前也详细的介绍过，总得来说，就是能够使得矩阵中的列向量的线性组合为0的所有的系数向量组成的集合。
行空间，也不难理解，类比着列空间，行空间，就是矩阵的行向量的所有的线性组合。但是，从以开始到现在我们处理的一直都是列向量，所以，在处理行向量的时候也习惯性的将它转换成列向量才处理，因为行向量的所有的线性组合可以理解为，列向量的转置的所有的线性组合。这样一来，行空间也可以理解为列空间的转置。
转置的零空间，又叫左零空间。

四个基本子空间的维数

对于矩阵 $Am×n，m<nA_{m\times n}，m<n$ ，首先看一下，这四个基本子空间是位于什么向量空间中。
对于列空间， $A$ 中的列向量都有 $m$ 个分量，所以它们是 $R^m$ 中的任意向量，因而它们的线性组合不会超出 $R^m$ ，所以列空间应是位于 $R^m$ 中。

再看行空间，行空间可以理解为 $A^T$ 的列空间， $A^T$ 是 $n×mn\times m$ 的矩阵，其中每一个列向量都有 $n$ 个分量，所以他它们都是位于 $R^n$ 中的向量，因而列空间也是在 $R^n$ 中。也就是行空间是 $R^n$ 的子空间。

对于零空间，零空间中的向量都是对系数矩阵中的列向量进行加权的系数，所以零空间中的向量的分量的个数应该是和系数矩阵中的列向量的个数是一样的。那么零空间就是 $R^n$ 的一个子空间。
在列空间和行空间的介绍中我们已经发现，转置之后，所属空间的维数也发生了转置。这个性质对于零空间也是一样的。本质上在于，每个列向量的分量的个数发生了变化。类比而言，转置的零空间是 $R^m$ 中的。

其实，虽然这里介绍了四个基本子空间，实际上他们可以划分为两种，一种是列空间，一种是零空间，而其他的两个都是由这两种转置得到的。因此，我们有必要将注意力多多的放在列空间和领空的研究上，当我们掌握了研究它们的方法时，也就能够研究另外两种子空间了。

接下来，我们看一下它们的维数。对于列空间，基中向量的个数等于空间的维数，所谓基就是线性无关的向量组，并且它们能够生成整个空间，线性无关的向量有一个特点，将他们放置到一个矩阵中时，每一列都有主元（这里不做详细的介绍）。所以，空间的维数等于主元的个数，即矩阵的秩。我们假设 $A$ 的秩为 $r$ ，那么列空间的维数也就是 $r$ 。我们可以得到结论：列空间的维数等于矩阵的秩。

再看行空间，依然站在转置的角度上来看行空间，即研究 $A$ 的行空间就是研究 $A^T$ 的列空间。先看一个列子： $[120−200240000][100200020−240]\begin{bmatrix}1&2&0&-2\\0&0&2&4\\0&0&0&0\end{bmatrix} \qquad\qquad\begin{bmatrix}1&0&0\\2&0&0\\0&2&0\\-2&4&0\end{bmatrix}$ 这是一个矩阵和它的转置矩阵，主元是1和2，注意到这两个主元只能位于一个特定的行和特定的列，因此拥有主元的行和列都是和主元的个数是相同的，转置矩阵的秩也是 $r$ ，因此，不管矩阵如何转置，它的秩是不变的。所以， $A^T$ 的列空间的维数是 $r$ ，即 $A$ 的行空间的维数是 $r$ 。由此，我们得出结论：行空间的维数等于秩等于列空间的维数。

再看零空间。 从解齐次线性方程的角度来看，零空间是怎么得到的。在解齐次线性方程组的时候，我们是通过给自由变量进行赋值，得到特解，然后将特解进行线性组合得到的。并且，每次对自由变量的赋值都是线性无关的，得到的特解也是线性无关的。那么这样的特解就符合了基的要求，这样的一组特解就是零空间的基，特解的个数等于自由变量的个数，所以零空间的维数等于自由变量的个数等于 $n - r$ 。

转置的零空间，又称左零空间，根据前面已经介绍过的东西，这里的转置的零空间的维数应该是 $m - r$ 。因为转置并未改变主变量和自由变量的个数，只是改变了各列向量的分量的个数。

四个基本子空间的基

先看列空间。 在前面介绍维数的时候就已经简单的介绍了列空间的基，这里将详细的介绍一下为什么列空间的基是主列组成的向量组。我们仍然是研究一个特殊的矩阵 $A$ ，本质上还是考虑列向量的线性组合， 假设 $A_1$ 的所有列都是线性无关的， $A_2$ 中存在一个列是其他列的线性组合，如下： $A1=[100010001]A2=[102013000]A_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\qquad\qquad A_2=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}$ 在 $A_1$ 中，三个列向量都是线性无关的，它们所有的线性组合就是该矩阵的列空间，实际上也就是 $R^3$ ， $R^3$ 中所有的向量都可以由矩阵中的这三个列向量组合得到，因此这三个线性无关的列向量就是其列空间的基。在 $A_2$ 中，第三列是前两列的线性组合。列空间是矩阵中列的所有的线性组合，我们应该可以发现， $A_2$ 的所有的线性组合都是由前两列进行组合得到的。所以，其列空间的基是前两列组成的向量组。这是从线性组合的角度进行解释的，也可以说是从列空间的定义进行理解的。之所以称列空间的基是主列组成的向量组，就是因为主列可以生成所有可能的线性组合，也就是列空间。至此我们也可以从基的定义来理解，我们要找到该空间的基，那么应该找一个线性无关组，他们能够生成该空间。显然主列组成的向量组是符合要求的。

再看行空间。 在看列空间的时候，我们从两个角度考虑了基，一个是线性组合（列空间的定义），一个是基的定义。不过，这两个方向上都有两点是相同的，要求线性无关，能够生成整个空间，这是基的性质。所以，线性组合的角度只是我们便于理解的一种辅助方式，但根本上来讲，更多的还是依靠基的定义来发现基。 类比推理我们应该可以知道，行空间的一组基应该是一组线性无关的行向量，并且它们能生成整个空间。线性无关的向量一定包含主元， 那么主元所在的行是不是就是一组基呢？通过化简，不含有主元的行将变成零行，这意味着，它们是其他向量的线性组合。而不变成零行的向量将是能够组合得到其他向量的基底，根据定义，它们就是行空间的基。 $[123111211231]−>[101101100000]\begin{bmatrix}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{bmatrix}->\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

左零空间的基。 首先介绍一下，为什么它叫左零空间。首先明确一点，左零空间是相对于 $A$ 而言的。 $A x = 0$ 对于零空间而言，我们将上面的这个式子中所有的解 $x$ 的集合称为零空间，所有的解包括基础解和由基础解组合得到的解。 $A^T$ 的零空间称为左零空间，将下面的式子中的 $A^T$ 化成 $A$ ，就很容易看出来了。 $ATy=0=>yTA=0TA^Ty=0\qquad=>\qquad y^TA=0^T$ 化简之后，解位于矩阵 $A$ 的左边，因此称此时解的集合为左零空间。

在 $y^TA=0^T$ 中可以看出，左零空间就是能够使得 $A$ 的线性组合为零行的（系数）行向量。这里从矩阵变换的角度理解会更容易些，即，我们通过使 $A$ 变成行最简型矩阵，得到初等变换矩阵的积（变换矩阵），在这个变换矩阵中找到能够使 $A$ 的线性组合为零行的行向量，这些行向量就是一个基。 $E1E2...EnA=R=>EA=RE_1E_2...E_nA=R\quad=>\quad EA=R$ 而零空间的基与这个方法是类似的，只不过，零空间中的向量都是使得列向量的线性组合为零向量。那么我们就可以通过将矩阵 $A$ 化成列最简型矩阵，然后去找能够得到零列的系数向量。 $AE1E2...En=R=>AE=RAE_1E_2...E_n=R\quad=>\quad AE=R$ 在实际过程中，求左零空间和零空间的基是不常见的，不过我们得了解并理解求他们的基的思想和方法。