线性代数：零空间的基 与 秩-零度化定理

正文

零空间是对于一个矩阵$A$，满足线性系统$Ax=0$，所有的解$x$组成的向量空间。由于矩阵$A$零空间本身隐藏在矩阵$A$的内部，所以它的存在相对抽象。

构造零空间的基

构造一个矩阵$A$的零空间的基，本质是对求出线性系统$Ax=0$的解空间进行简单变形，从而得到零空间的基。

• 示例说明：
  存在矩阵A，通过高斯消元求取它的行最简形式:
  
  从系数矩阵A 的行最简形式得到线性系统$Ax=0$的解$\vec{x}$的形式如下:
  
  这个解的形式显示了组成线性系统$Ax=0$的任意一个解的内部分量所存在的线性关系，$x_1$和$x_2$这两个分量可以由其它四个分量$x_3,x_4,x_5,x_6$的线性组合所表示。将所有解改写成列向量形式:
  
  从解的列向量形式可以看到对分量$x_3,x_4,x_5,x_6$取任意实数$R$，就可以得到线性系统$Ax=0$的所有解空间的其中一组解$\vec{x}=(x_1,x_2.x_3,x_4,x_5,x_6)$，这个解可通过单独提出分量$x_3,x_4,x_5,x_6$拆分成以下形式的线性组合进行表示:
  
  拆分后得到的四个线性无关的向量${\vec{v}}_1=(1,-2,1,0,0,0)，{\vec{v}}_2=(2,-3,0,1,0,0)，{\vec{v}}_3=(3,-4,0,0,1,0)，{\vec{v}}_4=(5,-6,0,0,0,1)$，通过这四个向量的线性组合$k_1{\vec{v}}_1+k_2{\vec{v}}_2+k_3{\vec{v}}_3+k_4{\vec{v}}_4$就可以表示出线性系统的解$\vec{x}$，意味着线性系统的解$\vec{x}$构成的空间就是向量${\vec{v}}_1，{\vec{v}}_2，{\vec{v}}_3，{\vec{v}}_4$的生成空间，也就是系线性系统系数矩阵$A$的零空间。由空间的基的定义(给定$n$维空间的一组基，则空间中的任意一个向量都可以表示成这组基的线性组合)可知，这个四个线性无关向量${\vec{v}}_1，{\vec{v}}_2，{\vec{v}}_3，{\vec{v}}_4$就是它们生成空间的基，也是线性系统系数矩阵$A$的零空间的基，这个空间的维度就是$4$。

综上，对于线性系统$Ax=0$，把系数矩阵$A$化为行最简形式之后，自由列的列数就是矩阵A的零空间的维度:

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秩-零度化定理

对于一个$m\ast n$的矩阵有，将其化为行最简形式后，主元列数为其列空间的维度，也就是矩阵的秩，同时也是矩阵行空间的维度。当求出矩阵的主元列列数$r$，则矩阵的自由列列数(也就是矩阵的零空间的维度)等于$n-r$。就有 $矩阵的列空间的维度+零空间的维度=n$ 。

列空间的维度也就是矩阵的秩，零空间的维度的专业名词叫做$零化度(Nullity)$
$\therefore 秩-零度化定理:秩(rank)+零化度(Nullity)=n$

零空间的维度为0

零空间的维度等于一个矩阵的行最简形式中自由列的个数，当一矩阵全部都是主元列的时候，也就是一个$m\ast n$的矩阵的列空间的维度为$n$的时候，矩阵的零空间维度为0。对于一个方阵来说，即为满秩的时候，矩阵的零空间维度为0

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理解上一章节线代–零空间中最后的疑惑
为什么对于两个平面(二维欧式空间)，它们在三维空间内不可能正交的，它们只可能在四维空间中出现正交。

首先，矩阵的零空间是与矩阵的行空间正交的一个空间，零空间内的任意向量垂直于行空间的所有向量；
对于一个$m\ast n$的矩阵来说，行空间和零空间都是一个$n$维空间的子空间；
假设矩阵的行空间是一个二维欧式空间的话，那么矩阵的零空间的维度是$n-2$；
如果$n=3$，就是在一个三维空间内，同时能存在一个二维子空间和一个一维子空间正交；
当$n\ge 4$，就是在一个四维以上的空间内，当存在一个二维的子空间(矩阵的行空间)的前提下，能找到另一个二维子空间(矩阵的零空间)与矩阵的二维行空间正交。所以两个二维欧式空间正交只能在四维以上的空间内发生。