线性代数:零空间的基 与 秩-零度化定理

正文

零空间是对于一个矩阵 A A A,满足线性系统 A x = 0 Ax=0 Ax=0,所有的解 x x x组成的向量空间。由于矩阵 A A A零空间本身隐藏在矩阵 A A A的内部,所以它的存在相对抽象。

构造零空间的基

构造一个矩阵 A A A的零空间的基,本质是对求出线性系统 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解空间进行简单变形,从而得到零空间的基。

  • 示例说明:
    存在矩阵A,通过高斯消元求取它的行最简形式:

    从系数矩阵A 的行最简形式得到线性系统 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解 x ⃗ \vec x x 的形式如下:

    这个解的形式显示了组成线性系统 A x = 0 Ax=0 Ax=0的任意一个解的内部分量所存在的线性关系, x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2这两个分量可以由其它四个分量 x 3 , x 4 , x 5 , x 6 x_3,x_4,x_5,x_6 x3,x4,x5,x6的线性组合所表示。将所有解改写成列向量形式:

    从解的列向量形式可以看到对分量 x 3 , x 4 , x 5 , x 6 x_3,x_4,x_5,x_6 x3,x4,x5,x6取任意实数 R R R,就可以得到线性系统 A x = 0 Ax=0 Ax=0的所有解空间的其中一组解 x ⃗ = ( x 1 , x 2 . x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ) \vec x=(x_1,x_2.x_3,x_4,x_5,x_6) x =(x1,x2.x3,x4,x5,x6),这个解可通过单独提出分量 x 3 , x 4 , x 5 , x 6 x_3,x_4,x_5,x_6 x3,x4,x5,x6拆分成以下形式的线性组合进行表示:

    拆分后得到的四个线性无关的向量 v ⃗ 1 = ( 1 , − 2 , 1 , 0 , 0 , 0 ) , v ⃗ 2 = ( 2 , − 3 , 0 , 1 , 0 , 0 ) , v ⃗ 3 = ( 3 , − 4 , 0 , 0 , 1 , 0 ) , v ⃗ 4 = ( 5 , − 6 , 0 , 0 , 0 , 1 ) \vec v_1=(1,-2,1,0,0,0),\vec v_2=(2,-3,0,1,0,0),\vec v_3=(3,-4,0,0,1,0),\vec v_4=(5,-6,0,0,0,1) v 1=(1,2,1,0,0,0)v 2=(2,3,0,1,0,0)v 3=(3,4,0,0,1,0)v 4=(5,6,0,0,0,1),通过这四个向量的线性组合 k 1 v ⃗ 1 + k 2 v ⃗ 2 + k 3 v ⃗ 3 + k 4 v ⃗ 4 k_1 \vec v_1+k_2 \vec v_2+k_3 \vec v_3+k_4 \vec v_4 k1v 1+k2v 2+k3v 3+k4v 4就可以表示出线性系统的解 x ⃗ \vec x x ,意味着线性系统的解 x ⃗ \vec x x 构成的空间就是向量 v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , v ⃗ 3 , v ⃗ 4 \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3,\vec v_4 v 1v 2v 3v 4的生成空间,也就是系线性系统系数矩阵 A A A的零空间。由空间的基的定义(给定 n n n维空间的一组基,则空间中的任意一个向量都可以表示成这组基的线性组合)可知,这个四个线性无关向量 v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , v ⃗ 3 , v ⃗ 4 \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3,\vec v_4 v 1v 2v 3v 4就是它们生成空间的基,也是线性系统系数矩阵 A A A的零空间的基,这个空间的维度就是 4 4 4
综上,对于线性系统 A x = 0 Ax=0 Ax=0,把系数矩阵 A A A化为行最简形式之后,自由列的列数就是矩阵A的零空间的维度:

矩阵的行最简形式的一般形式


秩-零度化定理

对于一个 m ∗ n m*n mn的矩阵有,将其化为行最简形式后,主元列数为其列空间的维度,也就是矩阵的秩,同时也是矩阵行空间的维度。当求出矩阵的主元列列数 r r r,则矩阵的自由列列数(也就是矩阵的零空间的维度)等于 n − r n-r nr就有 矩阵的列空间的维度 + 零空间的维度 = n \color {#e94513} {矩阵的列空间的维度+ 零空间的维度 = n} 矩阵的列空间的维度+零空间的维度=n

列空间的维度也就是矩阵的秩,零空间的维度的专业名词叫做 零化度 ( N u l l i t y ) 零化度(Nullity) 零化度(Nullity)
∴ 秩 − 零度化定理 :    秩 ( r a n k ) + 零化度 ( N u l l i t y ) = n \therefore 秩-零度化定理: \ \ \ 秩(rank) +零化度(Nullity) = n 零度化定理:   (rank)+零化度(Nullity)=n

零空间的维度为0

零空间的维度等于一个矩阵的行最简形式中自由列的个数,当一矩阵全部都是主元列的时候,也就是一个 m ∗ n m*n mn的矩阵的列空间的维度为 n n n的时候,矩阵的零空间维度为0。对于一个方阵来说,即为满秩的时候,矩阵的零空间维度为0


理解上一章节线代–零空间中最后的疑惑
为什么对于两个平面(二维欧式空间),它们在三维空间内不可能正交的,它们只可能在四维空间中出现正交。

首先,矩阵的零空间是与矩阵的行空间正交的一个空间,零空间内的任意向量垂直于行空间的所有向量;
对于一个 m ∗ n m*n mn的矩阵来说,行空间和零空间都是一个 n n n维空间的子空间;
假设矩阵的行空间是一个二维欧式空间的话,那么矩阵的零空间的维度是 n − 2 n-2 n2
如果 n = 3 n=3 n=3,就是在一个三维空间内,同时能存在一个二维子空间和一个一维子空间正交;
n ≥ 4 n \ge 4 n4,就是在一个四维以上的空间内,当存在一个二维的子空间(矩阵的行空间)的前提下,能找到另一个二维子空间(矩阵的零空间)与矩阵的二维行空间正交。所以两个二维欧式空间正交只能在四维以上的空间内发生。

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