线性代数:矩阵的四子大子空间 之 “零空间”

正文### 1、一个齐次线性方程组的所有解,形成一个向量空间

对于一个齐次线性方程组Ax=OAx= OAx=O来说,它的所有的解中每一解都是向量,那么把这些向量(齐次线性方程组的解)集合在一起形成一个空间,其实这个空间是一个向量空间

这个结论可以证明如下:
对于一个齐次线性方程组Ax=OAx= OAx=O,它一定有解,因为至少会存在一个零解,所以它的所有解形成的空间不可能为空。

Case 1Case \ 1Case 1 当这个齐次线性方程组只有唯一零解 的时候,意味着它的解形成的空间只有一个零向量,此时这个空间的维度为000,空间内向量的加法和数量乘法满足封闭性,是一个向量空间,很容易得证。

Case 2Case \ 2Case 2当这个齐次线性方程组有无数解 的时候,求证它的解形成的空间是向量空间:
假设这个齐次线性系统的系数矩阵AAA是一个m∗nm*nmn的矩阵,那么它的每个解都是一个nnn维向量(有序实数元组)。如果这些解形成的空间是向量空间,则一定是nnn维空间( 欧几里得空间   Rn\color {darkred} {\small \textbf{ 欧几里得空间}} \ \ \ R^{n} 欧几里得空间   Rn是向量空间)的子空间。

所以当证明齐次线性方程组的解形成的空间是nnn维欧几里得空间的子空间,就说明它是一个向量空间。
只需证明这个空间对向量加法和数量乘法封闭\color {darkred} {只需证明这个空间对向量加法和数量乘法封闭}只需证明这个空间对向量加法和数量乘法封闭

(1)证明空间对向量加法封闭
假设向量u⃗\vec uuv⃗\vec vv是齐次线性方程组Ax=OAx= OAx=O的两个解
就有 A⋅u⃗=O, A⋅v⃗=O→A⋅u⃗+A⋅v⃗=OA \cdot \vec u = O, \ A \cdot \vec v = O \to A \cdot \vec u + A \cdot \vec v = OAu=O, Av=OAu+Av=O
进而可得A⋅(u⃗+v⃗)=OA \cdot (\vec u + \vec v) = OA(u+v)=O
上式子意味着两向量u⃗\vec uuv⃗\vec vv的和(u⃗+v⃗)(\vec u + \vec v)(u+v)也是这个齐次线性方程组的;
因此对于齐次线性方程组的解形成的空间内任意取两个向量u⃗\vec uuv⃗\vec vvu⃗+v⃗\vec u + \vec vu+v还是在这个空间内,所以该空间对向量加法封闭

(2)证明空间对向量的数量乘法封闭
假设向量u⃗\vec uu是齐次线性方程组Ax=OAx= OAx=O的一个解
就有 A⋅u⃗=OA \cdot \vec u = OAu=O, 这个等式两边同乘以一个实数kkk,可得k⋅A⋅(u⃗+v⃗)=k⋅O=Ok \cdot A \cdot (\vec u + \vec v) = k \cdot O = OkA(u+v)=kO=O
改写后可得A⋅(ku⃗)=OA \cdot (k \vec u) = OA(ku)=O
上式子意味着向量ku⃗k\vec uku也是这个齐次线性方程组的;
因此对于齐次线性方程组的解形成的空间内任意取一个向量u⃗\vec uu,那么这个u⃗\vec uu乘以任何一个实数kkk,结果ku⃗k\vec uku还是在这个齐次线性方程组的解形成的空间内,所以该空间对数量乘法封闭。

>>综上,一个齐次线性方程组的所有解,形成一个向量空间得证


2、矩阵的零空间

零空间\color{red} { 零空间}零空间:一个齐次线性方程组的所有解,形成一个向量空间,称这个空间为"零空间(Null Space)\color{red} {\small 零空间 (Null \ Space)}零空间(Null Space)"。

对于一个矩阵AAA来说,它的零空间就是以AAA为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0Ax=0Ax=0中,这个线性系统所有的解xxx组成的空间就是矩阵AAA零空间

零空间\color{red} { 零空间}零空间是矩阵的一个特殊的子空间,矩阵的零空间相比矩阵的行空间和列列空间要更加抽象,因为对于一个矩阵的行空间和列空间,我们可以直观的看到生成它们的就是这个矩阵的行向量和列向量,然后因为这些行向量和列向量可能线性相关,所以往往需要通过特殊的计算手段(对矩阵进行高斯消元求算矩阵的秩)来获得行空间和列空间的具体维度,进而能找到空间的一组基。相比之下,生成一个矩阵的零空间的向量,需要通过求解齐次线性方程组Ax=0Ax=0Ax=0来获取。

对零空间的一些理解

对于线性系统Ax=OAx=OAx=O,所有的xxx组成的空间是零空间。

  • 如果把矩阵看成是向量的转换函数,那么对于等式Ax=OAx=OAx=O,其中系数矩阵A就可以看成是一个转换函数,零空间是一个集合,集合内的所有向量在A的变换下,都可以被映射到零点!

  • 如果把矩阵看成是空间,那么就有零空间内任意向量和矩阵AAA的行向量的点乘结果为0!
    进一步推广,因为矩阵AAA的行空间内的任意向量都由矩阵的行向量的线性组合所表示(如w⃗=k1u⃗+k2v⃗\vec w = k_1 \vec u + k_2 \vec vw=k1u+k2v),而零空间内任意向量和矩阵AAA的行向量的点乘结果为000,就有x⃗⋅w⃗=k1u⃗⋅x⃗+k2v⃗⋅x⃗=0\vec x \cdot \vec w = k_1 \vec u \cdot \vec x + k_2 \vec v \cdot \vec x = 0xw=k1ux+k2vx=0,所以可以得出结论"对于零空间内的任意向量,和矩阵AAA的行空间的任意向量的点乘结果为000"这个结论其实表面,零空间内的所有向量,和矩阵A的行空间中的所有向量是垂直(正交)的。→\color {#0088b9} {\small {这个结论其实表面,零空间内的所有向量,和矩阵A的行空间中的所有向量是垂直(正交)的。}} \to这个结论其实表面,零空间内的所有向量,和矩阵A的行空间中的所有向量是垂直(正交)的。 矩阵A的零空间与矩阵A的行空间正交

三维空间中二维空间(平面)和一维空间(Line)的正交情况\large 三维空间中二维空间(平面)和一维空间(Line)的正交情况三维空间中二维空间(平面)和一维空间(Line)的正交情况

如果是对于两个平面(二维欧式空间),它们在三维空间内是不可能正交的,它们只可能在四维空间中出现正交。


总结

矩阵AAA的零空间
AAA看作是系统: AAA的零空间,就是Ax=0Ax=0Ax=0中,所有x组成的空间。
AAA看作是函数(变换): AAA的零空间,所有被AAA变化为000点的所有向量组成的空间。
AAA看作是空间: AAA的零空间,是和AAA的行空间正交的向量空间。

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