线性代数:线性系统

倪桦

于 2024-11-22 12:15:01 发布

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数

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线性系统:一种数学模型，形式上同中学接触的线性方程组像
${x+2y=53x+4y=6\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$ ，其中，线性系统内变量只能是 $x,y,z,⋯\color {red} {\small 一次方项如\ {x,y,z,\cdots} }$ ，不能出现像 $x2,x3,sin(x),x,x13x^2, x^3, sin(x), \sqrt x , x^{\frac {1}{3}}$ 这些奇怪的项。

相对的非线性方程则有：
① $x^2, - 1 = 0$ ；
② $z−4=0\sqrt {z} - 4 = 0$ ；
③ $\pi$ ；三角函数不属于多项式
$⋯\cdots$ 这些非线性方程的相对于的函数图像都呈曲线形，非线性形状。

线性的含义：满足一次方项组成的方程组称为线性方程组，“线性” 一词的代表的是 广义线性，如在二维空间的 “线性” 表示为直线，在三维空间的"线性"则表示成一个平面，在四维空间中"线性"表示为一个镶嵌在空间内的三维的体，推广到更高维的空间中则表示为一个 $(n - 1)$ 维的"空间体" ( $这个空间体虽然无法抽象表示，但是可以通过代数形式刻画为n个一次项未知数组成的方程\color {skyblue}{\small 这个空间体虽然无法抽象表示，但是可以通过代数形式刻画为n个一次项未知数组成的方程}$ )。

研究线性系统的目的： 现实中求取一个最优化问题的解所需的约束条件构成线性系统。所以研究线性系统就是为了的解线性方程组(约束条件)。

线性系统求解的方法:

1、高斯消元法，通过方程组之间的加(减)和交换两个方程操作消去方程内的未知数，从而简化方程。线性方程组可以由矩阵表示成增广矩阵，对增广矩阵进行高斯消元处理。(前向过程)
增广矩阵 由线性方程组的 系数矩阵和结果矩阵 组成的矩阵称为增广矩阵。

高斯消元处理万的增广矩阵中每行的主元应为1，矩阵主元下面的元素值都为0。

2、高斯-约旦消元法(Gauss-Jordan Elimination)，高斯消元法对由线性系统组成的增广矩阵进行一遍由上到下的顺序消元，使得增广矩阵中每行的主元为1，矩阵主元下三角区域元素的值都为0。而高斯-约旦消元法则是基于高斯消元法处理完的增广矩阵，执行由下到上的高斯消元过程(加(减)和交换两个矩阵的两行)，高斯-约旦消元法处理后的增广矩阵中主元上面的元素都为0，从而直接得到所有未知数的解。(反向过程)

通过高斯-约旦消元法处理后得到一个行最简形式的增广矩阵。
行最简形式: 主元所在列的上方和下方的元素值都为0，通过行最简形式可以描述一个线性方程组的解**(有唯一解，无限解，无解)**。

更一般的线性方程组消元，这类线性方程组的增广矩阵不满足每行的主元位置都为1的形式(如下示例)，但是只要保证随着行号的增加，主元的位置是逐渐偏右的形式的行最简形式即可。

线性系统的解的结构

在一个线性系统中，有且仅当线性系统内，存在 $n$ 个未知数对应于大于等于 $n$ 个方程的情况下，才可能有唯一解。

关于齐次线性方程组

常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，如 ${−x+2y+3z=0x−4y−13z=0−3x+5y+4z=0\begin{cases} -x + 2y + 3z = 0 \\ x - 4y - 13z = 0 \\ -3x + 5y + 4z = 0 \end{cases}$ 相比起一般线性系统，齐次线性系统一定有解。原因是，在一般线性系统中，无解的情况是因为存在 $方程的系数为零，但是结果不为零，从而方程不成立的矛盾情况\color{red} {\small \textbf{方程的系数为零，但是结果不为零，从而方程不成立的矛盾情况}}$ ；这种情况在齐次线性方程组内不会发生，因为齐次线性方程组的结果矩阵无论怎么运算都是0，所以齐次线性系统一定有解，可能是唯一解也可能是无穷解。