数据结构——树的基本概念

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本文介绍了树的基本概念，包括结点的度、m叉树、满二叉树与完全二叉树的关系。重点阐述了完全二叉树的性质，并提供了计算叶子结点数和树高度的算法。此外，详细讲解了二叉树的前序、中序和后序遍历递归算法思路。

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一.树的一些基本概念

1.度(degree)：结点的度——结点拥有子树的个数，度为m的树称为m叉树。

树的度——各结点度的最大值称为树的度。

2.满二叉树的结点个数：2^k-1，k为二叉树的高度。

3.完全二叉树：由满二叉树自右向左，自下而上去掉叶子结点。

性质1：叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2。则n2=n0-1。

证明：总结点数n=n0+n1+n2，每个结点（除根结点外）有且仅有一个树枝进入结点n-1，

从结点出去的树枝数n1+2 * n2，则n-1 = n1+2 * n2

则n2 = n0 -1

性质2：具有n个结点的完全二叉树，高度为log2[n] + 1（log2[n]取下界）

性质3：i = 1，为根节点；

if(i > 1) Num_Of_Parent = [ i/2 ] 取下界

if(2i > n) 结点为叶子结点，else Num_Of_Child = 2 * i.

if(2i + 1 > n) 结点没有右儿子

二、二叉树的遍历（递归算法思路）

1.前序遍历：根结点 —— 前序遍历左子树 —— 前序遍历右子树

2.中序遍历：中序遍历左子树 —— 根结点 —— 中序遍历右子树

3.后序遍历：后序遍历左子树 —— 后序遍历右子树 —— 根结点

递归算法实现：

1.前序遍历

void preorder(struct Btree *p)
{
	if(p == NULL) return;
	visit(p);
	preorder(p->left);
	preorder(p->right);
}

2.中序遍历

void inorder(struct Btree *p)
{
	if(p == NULL) return;
	inorder(p->left);
	visit(p);
	inorder(p->right);
}

3.后序遍历

void postorder(struct Btree *p)
{
	if(p == NULL) return;
	postorder(p->left);
	postorder(p->right);
	visit(p);
}

三、树的一些其他算法

1.计算叶子数

int CountLeaf(struct Btree *p)
{
	if(p == NULL) return 0;
	else
		if(!(p->left) && !(p->right))	//叶子结点
			return 1;
		else
			return CountLeaf(p->left)
				+ CountLeaf(p->right);
}

2.交换二叉树左右子树

void change_left_right(struct Btree *p)
{
	Btree *tmp;
	if(p){
		change_left_right(p->left);
		change_left_right(p->right);
		tmp = p->left;
		p->left = p->right;
		p->right = p->left;
	}
}

3.计算二叉树的高度

int height(struct Btree *p)
{
	if(p == NULL) return 0;
	else{
		h1 = height(p->left);
		h2 = height(p->right);
		height = (h1>h2) ? h1 : h2;
		return height+1;
	}
}