BZOJ 3505: [Cqoi2014]数三角形题解

最新推荐文章于 2021-01-22 16:38:11 发布

NOIAu

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分类专栏：数学杂题

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本文介绍了一种算法，用于计算在给定的nxm网格上，三点都在格点上且不共线的三角形数量。算法首先计算所有可能的三点组合，然后排除三点共线的情况，特别关注了如何通过计算最大公约数(GCD)来处理斜线上三点共线的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
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Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

数据范围

1<=m,n<=1000

这道题显然先处理三个点的放法，随意放，然后再删去三点共线的情况，删的情况是两种，第一种竖着的和横着的，第二种斜着的，我们发现斜的两点间的点数是横坐标和纵坐标的GCD-1，所以用gcd来处理即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long ans,n,m;
long long gcd(long long a,long long b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
long long cnt(long long n){if(n<3) return 0;return n*(n-1)*(n-2)/6;}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&m,&n);m++,n++;
    ans=cnt(m*n)-n*cnt(m)-m*cnt(n);
    for(register int i=1;i<m;i++){
        for(register int j=1;j<n;j++){
            ans-=2*(gcd(i,j)-1)*(m-i)*(n-j);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
}