多重部分和问题 DP

这题是挑战程序设计竞赛上的。

题意:

n个不同的数字,每个有xi个，要恰好组成k这个数是否可能.

如果单纯用dp[i][j]表示前i种数，和为j是否可能，那么转移方程就是：

dp[i][j]=dp[i][j]||dp[i-1][j-k*a[i]]  k=min(j/a[i],x[i])

复杂度为O(n^3)

如果利用多重背包二进制的思想把数字按照个数分成其他数字，则可以将复杂度降为O(n^2lg(n))

但是这个题是可以做到O(n^2)的。

具体方法是定义状态dp[i][j]表示前i种数，和恰好为j时剩余最多a[i]的数量。也就是说前面我们在推dp[i][j]时，只用到了dp[i-1][k]的值，但是其实在计算q<j 的dp[i][q]时，就已经用到了一些a[i]，所以在计算dp[i][j]的时候还是只使用前面的dp[i-1][k]是低效的，有一些重复计算，那么我们这样记录状态可以让转移方程利用dp[i][q]的值。

状态转移

dp[i][j]=x[i];(dp[i-1][j]>0)
dp[i][j]=dp[i][j-a[i]]-1;(dp[i][j-a[i]]>0)
dp[i][j]=-1;(dp[i][j-a[i]]<=0)

看到转移方程于是可以变为一维。

代码。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int maxk = 100005;
int dp[maxn][maxk]; //dp[i][j]表示前i个数 恰好和为j时 第i个数最多剩多少.
int f[maxk];
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,a[maxn],x[maxn],k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d%d",&a[i],&x[i]);
    memset(f,-1,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=0;j<=k;j++)
     {
       if(f[j]>=0) f[j]=x[i];
       else if(j<a[i]||f[j-a[i]]<0) f[j]=-1;
            else f[j]=f[j-a[i]]-1;
     }
    if(f[k]>=0) cout<<"YES\n";
    else cout<<"NO\n";
    return 0;
}