多重集组合数DP

挑战程序设计竞赛上的例题。

题意:

有n种物品,每种有x[i]个,相同的物品不相互区分,从里面拿m个物品的方法数模M的余数.

分析:
考虑第i种物品拿没拿
没拿:dp[i-1][j]
拿了:dp[i][j-1]
但是dp[i][j-1]包含了拿第i种物品x[i]+1个的可能,所以要减去dp[i-1][j-x[i]-1]
状态转移:
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-x[i]-1]

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define M 10005
using namespace std;
const int maxn = 1005;
int x[maxn],dp[maxn][maxn];//dp[i][j]表示前i种物品,一共拿了j个物品的方法数
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&x[i]);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<=n;i++)
        dp[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
         if(j-x[i]-1>=0) dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-x[i]-1]+M)%M;//避免出现负数
         else dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-1])%M;
      }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    return 0;
}

组合数类的问题经常用到dp。