凑零钱——动态规划0/1背包问题思想

最新推荐文章于 2025-02-18 09:30:20 发布

一名不知名的小菜鸟

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分类专栏：数据结构文章标签：数据结构动态规划算法

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韩梅梅喜欢满宇宙到处逛街。现在她逛到了一家火星店里，发现这家店有个特别的规矩：你可以用任何星球的硬币付钱，但是绝不找零，当然也不能欠债。韩梅梅手边有10000枚来自各个星球的硬币，需要请你帮她盘算一下，是否可能精确凑出要付的款额。
输入格式：输入第一行给出两个正整数：N（<=10000）是硬币的总个数，M（<=100）是韩梅梅要付的款额。第二行给出 N枚硬币的正整数面值。数字间以空格分隔。
输出格式：在一行中输出硬币的面值 V1≤V2≤⋯≤Vk，满足条件 V1+V2+…+Vk=M。数字间以 1 个空格分隔，行首尾不得有多余空格。若解不唯一，则输出最小序列。若无解，则输出 No Solution。
注：我们说序列{ A[1],A[2],⋯⋯ }比{ B[1],B[2],⋯ }“小”，是指存在 k≥1 使得 A[i]=B[i]对所有 i<k 成立，并且 A[k]<B[k]。
输入样例 1：
8 9
5 9 8 7 2 3 4 1
输出样例 1：
1 3 5
输入样例 2：
4 8
7 2 4 3
输出样例 2：
No Solution

首先明确一点，中心思路跟0/1背包问题的思路完全一样。
那么说一下我做的过程吧，首先我当时做的时候有点懵，我明白这是动态规划的思路，但我不知道怎么去解题，0/1背包可以很好的理解，就是判断当前的物品是否能装入背包：①不能——>判断下一个；②能：判断最优解是否包括当前物品，得出满足当前背包容量的最优解。
我觉得背包问题直接理解就是：加入当前的物品（n+1个）的最优解与没加之前（n个）的最优解作比较，二者择其优。
因为我觉得凑零钱问题没有可比较的东西，所以我刚开始毫无头绪，不过明白一点后，就恍然大悟了那就是凑零钱和背包问题都有一个关键的点——每一个钱币（物品）只有两种选择，选或者不选。 在这里插入图片描述
如上图，最开始的钱是0，我们从第一个钱币开始选择，每次都是两种结果，然后我们把钱的数额累加，最后得到我们想要的数额。如果整幅图都没有想要的金额，那自然是无解需要输出No Solution。
好的，那么思路完了代码如下：

#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int data[10001];//硬币的数组，用来储存每个硬币的金额
int farray[10001][101];//创建二维数组，用来储存f(i,k)的值，能够节省递归的时间
int n;//硬币的总个数
int needmoney;//需要凑的金额数
bool choose[10001];//记录每个硬币是否被选择，初始化为false表示没被选择
int f(int i,int k)//i表示第i个硬币，k表示需要凑的金额数
 {
 if(farray[i][k]>=0)//如果f(i,k)已经被计算过，直接返回值。
  return farray[i][k];
 if(i>n)//如果i>硬币数量了，返回0表示失败。
  return 0;
 if(k==0)//如果需要凑的钱为0了，返回1表示成功。
  return 1;
 if(data[i]-k==0) //如果当前硬币金额等于需要凑的钱，返回1成功，并把当前硬币choose改为true
 {
  farray[i][k]=1;
  choose[i]=true;
  return 1;
 } 
 else 
 {
  if(k<0) //如果需要的钱为负，返回失败
  {
   return 0;
  } 
  else //因为题目要求输出最小的一组解，所以优先判断“选择当前硬币”是否可行。
  {
   if(f(i+1,k-data[i])==1) //判断“选择当前硬币”是否可行。
   {
    farray[i][k]=1;
    choose[i]=true;
    return 1;
   } 
   else if(f(i+1,k)==1)//判断“不选择当前硬币”是否可行
    {
    farray[i][k]=1;
    return 1;
   } 
   else //如果上边两点都不可行表示无解
   {
    farray[i][k]=0;
    return 0;
   }
  }
 }
}
int main() {
 priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;//这个代码用来将输入的硬币数额从小到大排列，不懂的可以优快云查一下“priority_queue”的用法，主要是为了结果的输出。不排列的话，第一次样例结果可能会输出 5 3 1，为了保证结果按从小到大输出。
 cin>>n>>needmoney;
 for(int i=1; i<=n; i++) //初始化choose[i]和farry[i]
 {
  choose[i]=false;
  for(int j=0; j<=needmoney; j++)
   farray[i][j]=-1;
 }
 for(int i=0; i<n; i++) //将每一个硬币金额入队，入队完成后队列中为从小到大排列
 {
  int a;
  cin>>a;
  q.push(a);
 }
 for(int j=1; j<=n; j++) //将队列中从小到大排列的硬币金额赋值给硬币数组
 {
  data[j]=q.top();
  q.pop();
 }
 f(1,needmoney);//动态规划运算
 int count=0;//这个值是为了判断是否输No Solution，以及答案输出时的空格问题；
 for(int i=1; i<=n; i++) 
 {
  if(choose[i]) 
  {
   if(count++>0)//保证在有答案输出的情况下，第一个数前边没空格
    cout<<" ";
   cout<<data[i];
  }
 }
 if(count==0)
  cout<<"No Solution"<<endl;
 return 0;
}

代码完成了，感觉有的地方可能还有点不足，但整体没有问题，哈哈哈哈。
**PS：**1.有一个测试点，是测试所有的硬币金额加和正好为总需要金额。
2.如果储存f(i，k)的结果的数组farray是非常有必要的，当数据很大时，可以让时间复杂度变为O(n*needmoney);
最后给自己一个加油！！！！！！生命不息，代码不止！！！
2019年12月14日1：11
good night！