动态规划——完全背包拓展问题

完全背包问题

给定你一个固定的背包容量capacity，和两个数组weigth,value，分别表示下标为i的物品的重量和价值，每件物品有无数件，问你背包能够存放下物品的最大价值是多少？

这与之前的01背包极其拓展问题问题有很打不通，01背包的物品是有限个，而完全背包问题的物品是无限个，因此，所推倒的状态转移方程不同。
比如：

物品				 重量				 价值
  1		   			  1					  15
  2					  2        			  10
  3					  3					  20

如果背包的容量是4，此时如果用使用01背包的思想去解决这个问题，那么是得不到最优解60，即装4件物品1。
01背包的一维dp数组中，外层循环表示遍历物品，而内存循环是从后向前遍历背包容量。而完全背包则是在内层循环中，从weight[i]开始一直遍历到背包的容量，因为每一次遍历物品时，我都从背包的weight[i]容量开始向后遍历，则我一定可以得到第j容量下的最大物品价值。
01背包的遍历过程如下：

for(int i = 0;i<weigth.size();i++)
{
   
	for(int j = bag_weight;j>=weight[i];j--)
	{
   
	//从后向前遍历
		dp[j] = max(dp[j,dp[j - weight[i]] + value[i]);
	}
}

而完全背包的遍历过程则是如下：

for(int i = 0;i<weigth.size();i++)
{
   
//从当前能装下weight[i]的位置开始向后遍历
	for(int j = weight[i];j<=bag_weight;j++)
	{
   
		dp[j] = max(dp[j],dp[j - weight[i]] + value[i]);
	}
}

下面讲解由完全背包拓展出来的题目：

题目一、零钱兑换 II

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
题目链接：leetcode518.零钱兑换II
示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 
输出: 1

示例1中给出的答案中，全部都是组合数，与硬币放的位置无关，这也是这道题目的关键所在，如果是排列数则会有所不同，下面也会讲到这样的题目。

1. 定义dp[j] 为，凑成数目为j的所有组合方法数
2. dp[j]可以由dp[j - coins[i]]得到。这里解释一下，假设我要得到硬币总价值为5的总的方法数，此时遍历到coins[i] = 3，那么如果我知道dp[2]的方法数，那么他和价值为3的硬币组合后，就能得到价值为5的总的方法数。因此，得到上述递推结论。
3. 因为求的是所有的方法总和，因此可以得到状态转移方程为：

dp[j] +