1044: [HAOI2008]木棍分割

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题目大意：有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 可以砍最多m次，要求长度最大的一段长度最小, 并求此时的方案数

题解：第一问显示是二分+贪心检验
考虑第二问

f[i][j]表示前i个分成j块满足条件的方案数

$f[i][j]=\sum\limits_{k}^{i-1}f[k][j-1],(sum[i]-sum[k]\leq len)$

这样空间是$O(nm),时间是O(n^2m)$，需要优化

空间：
$考虑到f[i][j]只会从f[i][j-1]转移，降维，用f[i]表示前i个分割后满足条件的方案数$

同时需要预处理：$if(sum[i]\leq len) f[i]=1;$

空间复杂度$O(n)$

时间：
观察优化后的转移式
$f[i]=\sum\limits_{k}^{i-1}f[k],(sum[i]-sum[k]\leq len)$
容易看出满足条件的k是一段连续区间，这提示我们可以使用前缀和加速转移
设对于i，满足条件的第一个k的值为$pre[i]$
发现随着i的增大k也在增大，于是利用单调性可以轻松地$O(n)$预处理出$pre[i]$

用sum[i]表示li[i]的前缀和，S表示f[i]的前缀和

$f[i]=S[i-1]-S[pre[i]-1]$

时间复杂度$O(nm)$

我的收获：优化的思想强啊

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define P 10007
const int M=50005;

int n,m,mx,len,ans;
int li[M],sum[M];
int f[M],pre[M],S[M];

bool check(int x)
{
    int cnt=0,now=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(now+li[i]>x){
            cnt++;
            if(cnt>m) return false;
            now=0;
        }
        now+=li[i];
    }
    return true;
}

void solve1()
{
    for(int l=mx,r=sum[n];l<=r;){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)) len=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
}

void solve2()
{
    for(int tmp=0,i=1;i<=n;i++){
        while(sum[i]-sum[tmp]>len) tmp++;
        pre[i]=tmp;
    }
    for(int i=1;i<=n&&sum[i]<=len;i++) f[i]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++) S[j]=(S[j-1]+f[j])%P;
        for(int j=1;j<=n;j++) f[j]=(S[j-1]-S[pre[j]-1]+P)%P;
        ans=(ans+f[n])%P;
    }
    ans=(ans+P)%P;
}

void work()
{
    solve1();
    solve2();
    printf("%d %d\n",len,ans);
}

void init()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&li[i]),sum[i]=sum[i-1]+li[i],mx=max(mx,li[i]);
}   

int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}