P2258 [NOIP2014 普及组] 子矩阵

最新推荐文章于 2022-06-30 16:53:08 发布

Mint-hexagram

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分类专栏： dfs 文章标签：动态规划算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Mint_hexagram/article/details/121113514

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本文介绍了一种结合动态规划(dp)与深度优先搜索(dfs)的算法优化方案，通过枚举行的组合，每次动态规划得到当前行组合下的最小分值，有效降低了组合数级别的复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

算法要素：dp+dfs

思路：

暴力：枚举选取哪些行和哪些列，复杂度 $C_n^rC_m^c$ ,显然不可能过。

这时就有一个神奇的思路：
dp的作用是将组合数级别的复杂度优化成 $n^2$ 等较小的复杂度
因此可以考虑枚举行的组合，每次dp得出当前行的组合下最小分值。复杂度 $C_n^rm^2$

经验总结：

某些dp可以把枚举+枚举转化为枚举+dp来减小复杂度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=32;
int f[maxn][maxn],a[maxn][maxn],w[maxn],v[maxn][maxn],p[maxn];
int n,m,r,c,ans=1e9+7;
void dp()
{
//v[i][j]表示i行和j行之间的值
//w[i]表示选择第i行后，i行内部的分值
//f[i][j]表示前i行中选择j行之后的结果
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		for(int j=1;j<=m;++j)
		{
			f[i][j]=1e9+7;
			v[i][j]=0;
		}
	}//初始化（不能memset，因为需要f[i][0]=0）
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		w[i]=0;
		for(int j=2;j<=r;++j)
			w[i]+=abs(a[p[j-1]][i]-a[p[j]][i]);	
	}
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			for(int k=1;k<=r;++k)
				v[i][j]+=abs(a[p[k]][i]-a[p[k]][j]);
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=1;j<=min(i,c);++j)
		{
			for(int k=j-1;k<i;++k)
				f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+w[i]+v[k][i]);
			if(j==c) ans=min(ans,f[i][j]);	
		}
}
void dfs(int x,int step)//枚举行
{
	if(step==r+1)
	{
		dp();
		return;
	}
	if(x>n) return; 
	p[step]=x;
	dfs(x+1,step+1);
	dfs(x+1,step);
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	dfs(1,1);
	printf("%d",ans);
	return 0;	
}