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原创广义斐波那契数列通项公式以及一些扩展的思考

定义数列 {An}\{A_n\}{An}，对于 n≥2n\ge 2n≥2 有 An=aAn−1+bAn−2A_n=aA_{n-1}+bA_{n-2}An=aAn−1+bAn−2， A0,A1A_0,A_1A0,A1 为定值。定义矩阵：Mn=[AnAn−1]T=[ab10]Pm=[bmpmbmpm−1]M_n=\begin{bmatrix}A_n\\A_{n-1}\end{bmatrix}\\T=\begin{bmatrix}a&b\\1&0\end{bmatrix}\\P

2022-07-01 19:43:55 838

原创神迹（？）

小A绝望地走到了楼顶，试图终结自己的生命，就在他下定决心之时，一位陌生人小B突然来到了他的身后。“想想你的未来，你还有机会啊！”小A听到了，但是他早已思考过这个问题，向前走了一步。“想想你的周围，至少你还有依靠啊！”小A听到了，坚定了结束生命的信心。“想想你的别的亲戚！你死了他们该会是什么样子啊！”小A如死水般的内心突然翻涌出巨浪，他突然找到了生命的意义，可是这时偏偏来了一阵风，把他吹了下去。他来到了一楼，风吹来了鸟，鸟留下了轻飘飘的一根羽毛，化作了一个美丽的天使，轻轻挥舞着翅膀，他看到了一束及其明

2022-02-10 13:22:23 391

原创 CF1633D Make Them Equal 题解

首先分析每一次操作，我们发现这些操作有两个重要的特征：互相独立操作过程中每一个 aia_iai 单调不减由此我们可以分析出，每一个 aia_iai 要么一直操作到 ai=bia_i=b_iai=bi，要么不动，这很像一个背包，考虑如何转化。我们发现对于相同的 bib_ibi，最优操作的步数一定相同（特征 1），令 pip_ipi 表示将 1 变换成 iii 的最少次数，那么此时我们有 nnn 个物品，第 iii 个代价为 pbip_{b_i}pbi，价值为 cic_ici，这就

2022-02-03 16:23:38 832

原创 CF1630B Range and Partition

首先看到最小化 y−xy-xy−x 这个玩意，果断二分 y−xy-xy−x，显然假如区间更长合法，那么更短一定也合法，然后再枚举 xxx 进而得到 [x,y][x,y][x,y]，接下来的事情就是要判断某一个区间 [x,y][x,y][x,y] 是否合法。我们首先把砍成 kkk 段转化为尽可能地多段，因为如果 ttt 段的分割是合法的，我们我们将最后两个区间合并，这就是 t−1t-1t−1 段了。我们将 aia_iai 重新赋值，如果 ai∈[x,y]a_i \in [x,y]ai∈[x,y] 那么

2022-02-03 16:23:06 916

原创斐波那契数列通项公式一个莫名其妙的证明

上数学课的时候几何太烦了于是就莫名奇妙的想到了标题然后莫名其妙的想到了证明，现在发现貌似还没有找到相同的证明，于是就发了出来。设 F0=F1=1,Fi=Fi−1+Fi−2F_0=F_1=1,F_i=F_{i-1}+F_{i-2}F0=F1=1,Fi=Fi−1+Fi−2 （斐波那契数列）令 xxx 满足 x2=x+1x^2=x+1x2=x+1，p,qp,qp,q 为 xxx 的两个解 (p>q)(p>q)(p>q)发现此时 xxx 满足: xn=xn−1+xn−2x^n=x^

2021-12-02 22:10:35 452

原创 CH0304 IncDec Sequence

[传送门](http://noi-test.zzstep.com/contest/0x00「基本算法」例题/0304 IncDec Sequence)大概题意：给定一个长度为 n(n≤105)n(n≤10^5)n(n≤105) 的数列 {a1,a2,…,an}\{a_1,a_2,…,a_n\}{a1,a2,…,an}，每次可以选择一个区间 [l,r][l,r][l,r]，使下标在这个区间内的数都加一或者都减一。求至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样，并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的

2021-10-02 12:10:08 177

原创 U180094 选苹果

官方题解传送门对于 10% 的数据显然爆搜每一个苹果选不选就行了，加不加优化无所谓。这道题说不能相邻，所以考虑用组合数学，当我们选 xxx 个苹果的时候，剩下的有 n−xn-xn−x 个苹果，剩下的每两个之间可以放至多一个苹果，我们把 xxx 随便插到这 n−x+1n-x+1n−x+1 个空里面（包括两端），这时有 Cn−x+1xC_{n-x+1}^xCn−x+1x 种方法，这时我们的答案就是：∑i=1⌊n−12⌋Cn−i+1i\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n-1}{2}

2021-09-20 16:24:13 133

原创 P1445 [Violet]樱花

纪念一下，独立做出来蓝色数学题不容易。看到阶乘不自觉地想到递推，然后发现好像不太行，然后突然想起数学书上一题~~（其实是作业）~~，问对于任意正整数 nnn，a,ba,ba,b 满足1n+a+1n+b=1n\dfrac{1}{n+a}+\dfrac{1}{n+b}=\dfrac{1}{n}n+a1+n+b1=n1时 a,ba,ba,b 与 nnn 的关系，显然1n+a+1n+b=1n(n+a)+(n+b)(n+a)(n+b)=1n2n+a+bn2+an+bn+ab=1nn(2n+a+b)=

2021-09-09 20:24:42 176

原创初入cf总结4

又是两场 cf，这两次 cf 都涨 rating 了，1425->1434->1515，两场涨了 100 多，在第 8 次比赛终于上了 1500，赶回了之前 rating 的初始值，说实话 rating 改革之前比现在涨分还是很容易的，现在也是有一定难度的，个人感觉现在的 Pupil 可以 pj1= 了，tg1= 差不多 1700 就够。这两场比赛做题策略有了一些提升，比如看到最近这次比赛，C 1500 分，D 1750 分，显然两题难度差不多，但是 D 分高，而且我自认为 D 比 C 简单，

2021-09-06 19:31:09 199

原创 CF242E XOR on Segment

这题其实真的不难，而且氵一道 2000 的在洛谷上紫色的题目真的很爽。这题一上来很容易想到线段树，也就是加法乘法变成了异或，直接维护 xor 不大容易，因为异或的区间和不可以累加，所以这个想法肯定是不行的。但是注意到这是位运算 xor，它一个很重要的性质就是每一位相互独立，而我们的每一位的每次修改无非就是取反，求和，十分好做，于是对于每个整数，考虑转化成这样的问题，也就是把每一位拆开而已，于是我们可以开大约 log⁡2(106)\log_2(10^6)log2(106) 个维护 01 求和的线段树，所

2021-08-27 23:33:01 281

原创 CF1562C Rings

这题其实不难，但是样例真的很迷惑，这题最大的难点是抛弃样例。这题和前面几题一样，先考虑特殊情况，特殊情况容易想到 k=2tk=2^tk=2t，这样也就是多 t 个 0，再特殊一点 k=2k=2k=2，也就是多一个 0，我们发现其实这题最大的限制是 r−l+1≥⌊n2⌋r-l+1\ge \lfloor \frac{n}{2} \rfloorr−l+1≥⌊2n⌋，我们考虑如果 ax=0 & x>⌊n2⌋a_x=0~\&~x\gt \lfloor \frac{n}{

2021-08-27 22:43:48 120

原创 CF1562B Scenes From a Memory

首先如果有 1,4,6,8,9 就直接输出就行，然后判定有没有重复的数或者不在第一位的 2,5 ，这些条件又任何一个符合都有明显的答案。剩下的不符合所有条件的串一定会是没有重复的数的，由 2,3,5,7 构成的且 2 或 5 不能不打头的串。显然这个串长度为 2 或 3 ，当 3,7 打头，显然没有办法凑出非质数，题目保证有解，所以 3,7 一定不能打头。2,5 打头，长度为 2 的只有 27,57 ，而长度为 3 的一定是 2,5 打头，后面是 37 或 73 ，因为保证有解，所以不是 27 ，就是

2021-08-27 22:42:52 181

原创 CF1562A The Miracle and the Sleeper

这题作为比赛的第一题，感觉稍微比前几次难了一点（虽然也没多难），而且我的代码貌似很短。我们假设已经知道了 a 的值，在不考虑 r 的情况下 b 的值应当是 2a−12a-12a−1 ，我们希望模数 a 尽可能大，最大值显然满足 b=2a−1=rb=2a-1=rb=2a−1=r，a=max⁡(l,⌊r+12⌋)a=\max(l,\lfloor \frac{r+1}{2}\rfloor)a=max(l,⌊2r+1⌋)，但是如果这时的 b 大于 r，说明 2l>r2l>r2l>r ，这时 a

2021-08-27 22:40:49 268

原创初入cf总结3

又打了两场比赛，一场 div.3 ，一场 div.2 ，div.3 大的比较烂，div.2 比较好（其实也就是一些简单题做对了，真正的难题还没做对过），但是总体来说还是比之前进步很大，也是终于在第 6 场比赛上了 1400 ，但是还是有很多问题，比如细节多的题实现慢读题花的时间太长不会做还想着死磕尤其是前两个，对我真的影响特别大，而且都是不好解决的问题，因为一个是考验细心，一个是考验英语，都是硬茬，只能说是慢慢来吧，多做一些英文题，一些大模拟，修身养性立地成佛不过 cf 的比赛确实很锻炼思维，

2021-08-25 14:00:01 787

原创 CF1561D1 Up the Strip (simplified version) 题解

容易想到 fif_ifi 表示走到 iii 的方案数和转移方程（一开始我这个蒟蒻居然还觉着是刷表呢fx=(∑i=x+1nfi)+(∑{fy∣x=⌊yk⌋})f_x=(\sum_{i=x+1}^nf_i)+(\sum\{f_y | x=\lfloor \frac{y}{k} \rfloor\})fx=(i=x+1∑nfi)+(∑{fy∣x=⌊ky⌋})第一项很好求，维护一个后缀和，难点主要是在第二项我们可以枚举 kkk ，不超过 n\sqrt{n}n 个，这时我们的 kkk 固定下来了

2021-08-25 13:59:33 438

原创 CF1558A Charmed by the Game

大概题意（本题主要难点小 A 小 B 轮流负责接球发球，已知小 A 赢了 aaa 场，小 B 赢了 bbb 场，求接球手胜利的次数有多少可能，分别是什么解法设ca 为 A 发球的次数cb 为 B 发球的次数AA 为 A 发球 A 赢了的局数AB 为 A 发球 B 赢了的局数BA 为 B 发球 A 赢了的局数BB 为 B 发球 B 赢了的局数显然 AA+AB=ca,BA+BB=cb,AA+BA=a,AB+BB=bAA+AB=ca,BA+BB=cb,AA+BA=a,AB+BB=bA

2021-08-25 13:58:20 251

原创 CF1561C Deep Down Below 题解

昨天比赛（ div.2 ）自认为最简单的一题，比 A 还简单，因为至少 A 需要模拟的勇气首先我们发现每个洞穴相互独立，假设对于一个洞穴，有 kkk 个 boss 分别是 a1,a2,…,aka_1,a_2, \dots ,a_ka1,a2,…,ak 假设我们进来的时候 power 是 xxx ，那么打第 iii 个 boss （之前还没死）之前 power 是 x+i−1x+i-1x+i−1 ，也就是如果我们要进入这个山洞，必须对于任意的 1≤i≤n1 \le i \le n1≤i≤n 满足

2021-08-25 13:57:06 384 1

原创 2021暑假集训总结

这几天真的是学到了特别多的知识，多到每一天基本上都在研究课上讲的算法和题目，也许是因为太菜了，也许是因为没有接触过，还有很多东西没有琢磨明白，还是先梳理一下讲的新知识吧：dp（大部分理解基础dp及思想其实也不基础优化dp决策单调性优化斜率优化单调队列优化降维字符串（AC自动机代码还是有问题KMP结合dpAC自动机图论二分图最大匹配（没啥问题网络瘤（题目基本上能听懂，代码不大行建图技巧+思想最大流EKDinic（不太熟练最

2021-08-16 12:55:42 172

原创初入cf总结2

最近两周打了两场CF，虽然还是很菜，但是起码分数比上次好多了，心态也好多了主要是因为边听歌边写题，而且题目其实很水，尤其是这次，但是也暴露了一个巨大的问题，就是当我快速的想出氵题的做法之后写出代码的速度却慢得多，其实这次难点主要就是在 D2 和 E ，（而且貌似 D2 好像就是 D1 稍微优化一下）其他的都是拼手速、代码实现能力、以及网速，这三个我都没有优势，所以导致有些题目降分降得太多，损失太大首先代码实现还是要加强一下，做一做大模拟，但是其实就算我还是一样这么菜这样的情况也是可以避免的，因为其实 B

2021-08-16 12:54:56 232

原创 --线段树--

线段树 (Segment Tree) ，一个用来处理 RMQ、RSQ 的数据结构1. 基本思想它的思想也是非常简单，比如有一个长度为 8 的区间，我们把它分成两个长度为 4 的区间，然后对于长度为 4 的区间再分割，每个区间记录信息（比如和），我们把这些区间当成一棵树上的节点，对于编号为 kkk 的区间 [l,r][l,r][l,r] ，中间点为 mid=⌊l+r2⌋mid=\lfloor \dfrac{l+r}{2} \rfloormid=⌊2l+r⌋ ，子节点有编号为 2k2k2k 的区间 [l

2021-07-04 16:48:05 329

原创 poj 2411 Mondriaan‘s Dream

题目传送门：2411 – Mondriaan’s Dream (poj.org)OpenJudge - 1413:Mondriaan’s Dream这题一上来看数据范围就知道了，不是搜索就是状压 dp ，再加上多组数据，肯定就是状压 dp ，很容易想到 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 表示第 i 行状态为 j 时的方案数，因为每一行的状态都只和，接下来就是确定 j因为每一个格子不是被横的方块覆盖就是被竖着的方块铺着，所以很容易想到 j 的 i 位表示是否是被横着铺的，但是我们发现这样没有

2021-06-29 19:48:25 333

原创 -单调队列-

例题单调队列名字逼格很高，但是其实很简单比如，对于题目中样例的数据1 3 -1 -3 5 3 6 7我们要算最小值，我们看最小值是多少假设现在我们有一个特殊的队列，双端队列，每一端都可以 push ，或者 pop ，的队列首先我们看第一个元素，放入队列1此时最小值是 1然后第二个1 3最小值还是 1此时我们放入第三个 -11 3 -1这个时候我们发现，因为 3≥−13 \ge -13≥−1 ，所以只要 3 和 -1 ，都在窗口里面，那么 3 就一定不是最小值，因为窗口一直

2021-06-19 17:47:37 151

原创 ---ST---

例题ST 算法类似分块，但分块的大小不一样，ST 表中，第 i 个块大小为 2i2^i2i ，我们用 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 表示区间 [i,i+2j−1][i,i+2^j-1][i,i+2j−1] 的最值，易得长度为 ccc 的区间 [l,r][l,r][l,r] 的最值等于 max⁡(f[l][log⁡2c],f[r−2log2c][log2c])\max(f[l][\log_2c],f[r-2^{log_2c}][log_2c])max(f[l][log2c],f[r−2lo

2021-06-19 17:45:26 226

原创 ---分块---

例题分块就是优雅的暴力搜索，就是把这一个数组分成好多块，每一块预处理最值，区间查询时，取这个区间里的每个块的最值，然后再求那些块覆盖不到的地方的最值（这个步骤暴力就行）显然块的数量和块的大小不能太大也不能太小，所以我们把块的大小取 n\sqrt{n}n ，代码：#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#

2021-06-19 17:42:57 116

原创 \\树状数组//

1. 基本思想树状数组（ Binary Index Tree 即二进制编号的树，简称 BIT ）顾名思义就是把一个数组变成一棵树，实质上还是分块，比如对于原数组 a[]a[]a[] 区间 [1,x][1,x][1,x] ，x=(10101)2x=(10101)_2x=(10101)2 即 x=24+22+20x=2^4+2^2+2^0x=24+22+20 ，可以划分为区间：长度为 242^424 的区间 [1,24][1,2^4][1,24]长度为 222^222 的区间 [24+1,24+

2021-06-18 20:52:21 152

原创约数相关算法

1. 最大公约数aaa 和 bbb 的最大公约数用 gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b) 表示最大公约数基本上有这几种算法，分别是：暴力，复杂度 O(min(a,b))O(min(a,b))O(min(a,b))利用九章算法 · 更相减损术 gcd(a,b)=gcd(a−b,b)gcd(a,b)=gcd(a-b,b)gcd(a,b)=gcd(a−b,b) ，不断缩小数据，边界条件是 gcd(a,0)=a gcd(0,b)=bgcd(a,0)=a\ gcd(0,b)=bgc

2021-06-14 16:12:21 379

原创图的存储笔记

众所周知，图的存储有三种，分别是：1.邻接矩阵2.邻接表3.链式向前星邻接矩阵邻接矩阵就是一个矩阵，比如用一个二维数组 aaa 来存储， aaa[iii][jjj]表示节点 iii 与节点 jjj 之间有没有边，如果有，权值是多少，比如下面这个有向图（没有权值）：那么它就可以用邻接矩阵表示（0表示没有边，1表示有边）：12345101000200100300000400001510100

2021-06-14 16:10:51 114

原创 poj3417 Network

题目传送门给你一颗树，还有一些别的边，先切除一条树边，然后切除一条非树边，有多少种方法可以切成两个不连通的部分首先对着这棵树，加上一条边后一定会出现环，比如对于某棵树的一部分x 表示非树边，我们发现，在这个环上任意一条树边切除之后显然只能切除那条非树边，而且如果我们再加上别的边显然切除这个环上的一边之后还是只能切除非树边，很容易联想到对于每个向这样的连接 x y 两点的环，这个环上每一条边切除之后都只能切除那条非树边，也就是如果切它就只有一种方案于是我们统计这样的环上边的总数，或者我们可以换一种理

2021-06-05 11:14:37 130

原创 P5507 机关

题目传送门：P5507 机关看了一遍题解之后发现大家的代码都很长我的思路呢其实也就是双向搜索，题解里也有一位 dalao 写了，但是位运算其实没有必要那么麻烦，没有必要把两个记录状态的数组合并，两个也不会超空间，时间还快一点，相当于用空间换时间接下来是我的思路状态压缩首先是状态的存储问题，有 12 个旋钮，我发现基本上状态压缩有这几种：十进制存，一位一个旋钮，很明显 12 位不能用数组去判重，得用 mapmapmap ，又多了一个 lognlognlogn 的复杂度我也不知道这位兄弟怎么想出

2021-06-05 11:12:42 306

原创 P4159 [SCOI2009] 迷路

题目传送门 P4159 [SCOI2009] 迷路如果完全没有思路请移步至 P2233 [HNOI2002]公交车路线如果没学过矩阵乘法可以去P1939【模板】矩阵加速（数列）P3390 【模板】矩阵快速幂看看这两题的题解要是不会快速幂请去 P1226 【模板】快速幂||取余运算然后我们通过 P2233 知道了，对于一个邻接矩阵为 GGG 的，边权只有 0 1 的图，从 iii 走到 jjj 恰好走 TTT 个单位的方案数是 GijTG^T_{ij}GijT，那么考虑把这道题转换成边

2021-06-05 11:11:56 211

原创 P3540 [POI2012]SQU-Squarks

题目传送门：P3540 [POI2012]SQU-Squarks题面解释的非常不清楚，总之就是有 nnn 个数，x[]x[]x[]，它们两两组合，对每一对求和，放到 a[]a[]a[] 里，此时 a[]a[]a[] 里有 $\frac {n \times (n-1)}{2} $ 个数，现在已知 nnn 和 a[]a[]a[]，求 x[]x[]x[] 的解的个数和每一个解然后通过看题目标签仔细观察发现，这题一定可以贪心，那么我们先模拟几个小数据当 n=2n=2n=2这个时候只有 a[1] x

2021-06-05 11:11:05 166

原创 P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets

题目传送门：P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets简化题意：其实就是给你 nnn 个数，a1a_1a1 到 ana_nan ，对于每个数取任意个，把它们的和放到集合 SSS 中，找出在集合 SSS 中最大的正整数 xxx ，使得 $x \not \in S $这题大概思路就是确定两个范围，设有两数 m, rm,\ rm, r，它们满足：所有的测试点里的答案 ≤m\le m≤m如果凑出来的数有上限，那么 {x∣x∈[r,m],x∈N+}⊆S\{x

2021-06-05 11:09:55 269

原创 P2732 [USACO3.3]商店购物 Shopping Offers

题目传送门：P2732 [USACO3.3]商店购物 Shopping Offers这道题乍一看，压根看不懂，再看，看懂题了，第三眼，发现是动规，冥思苦想了半天想出来一个特别暴力的办法首先我瞄准了小数据，最多只会有 5 种，所以我决定直接五维 dpf[i][j][k][l][m]f[i][j][k][l][m]f[i][j][k][l][m] 表示在第一个物品有 iii 个，表示在第二个物品有 jjj 个，表示在第三个物品有 kkk 个，表示在第四个物品有 lll 个，表示在第五个物品有 mmm 个，

2021-06-05 11:09:07 433

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