【洛谷_P2258】子矩阵

本文介绍了如何找到一个n行m列的正整数矩阵中,具有r行c列的子矩阵,使得该子矩阵的分值(相邻元素之差绝对值之和)最小。通过DFS或DP的方法来解决此问题,并提供了样例解释和数据范围。

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子矩阵


题目描述

给出如下定义:

子矩阵:从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵(保持行与列的相对顺序)被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如,下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
的其中一个2 * 3的子矩阵是
4 7 4
8 6 9
相邻的元素:矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素(如果存在的话)是相邻的。
矩阵的分值:矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务:给定一个n行m列的正整数矩阵,请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵,使得这个子矩阵的分值最小,并输出这个分值。
(本题目为2014NOIP普及T4)

输入格式:

第一行包含用空格隔开的四个整数n,m,r,c,意义如问题描述中所述,每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的n行,每行包含m个用空格隔开的整数,用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式:

输出共1行,包含1个整数,表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例 #1:

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

输出样例 #1:

6

输入样例 #2:

7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

输出样例 #2:

16

说明
【输入输出样例1说明】
该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成,为

### 关于最大子矩阵问题的解决方案 最大子矩阵问题是经典的动态规划问题之一,其目标是从一个给定的矩阵中找出具有最大子矩阵。以下是解决该问题的一种常见方法。 #### 方法概述 一种常见的策略是通过降维的方式将二维问题转化为一维问题处理。具体来说,可以通过计算每一的部分(即前缀),从而将二维数组压缩成多个一维数组。对于这些一维数组,可以应用类似于求解最大子段的方法来得到最优解[^1]。 #### 前缀的应用 为了高效地计算子矩阵,通常采用二维前缀的技术。设 `prefixSum[x2][y2]` 表示从 `(1, 1)` 到 `(x2, y2)` 的矩形区域内所有元素的总,则任意子矩阵 `(x1, y1), (x2, y2)` 的可通过如下公式快速得出: \[ \text{subMatrixSum} = \text{prefixSum}[x2][y2] - \text{prefixSum}[x1-1][y2] - \text{prefixSum}[x2][y1-1] + \text{prefixSum}[x1-1][y1-1] \] 此公式的推导基于二维前缀递推关系[^3]。 #### 动态规划实现 下面是一个完整的 C++ 实现代码,展示了如何结合前缀与动态规划技术解决问题: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 105; int matrix[MAXN][MAXN]; int prefixSum[MAXN][MAXN]; // 计算二维前缀 void computePrefixSum(int n, int m) { for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= m; ++j) { prefixSum[i][j] = matrix[i][j] + prefixSum[i-1][j] + prefixSum[i][j-1] - prefixSum[i-1][j-1]; } } } // 获取子矩阵 int getSubmatrixSum(int x1, int y1, int x2, int y2) { return prefixSum[x2][y2] - prefixSum[x1-1][y2] - prefixSum[x2][y1-1] + prefixSum[x1-1][y1-1]; } int main() { int n, m; cin >> n >> m; // 输入矩阵数据 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= m; ++j) { cin >> matrix[i][j]; } } computePrefixSum(n, m); int maxi = INT_MIN; // 枚举左边界右边界 for (int l = 1; l <= m; ++l) { for (int r = l; r <= m; ++r) { vector<int> dp(n + 1, 0); for (int i = 1; i <= n; ++i) { dp[i] = max(dp[i-1] + getSubmatrixSum(i, l, i, r), getSubmatrixSum(i, l, i, r)); maxi = max(maxi, dp[i]); } } } cout << maxi << endl; return 0; } ``` 上述代码实现了以下功能: 1. **输入读取**:接收矩阵尺寸及其元素。 2. **前缀预处理**:加速后续子矩阵查询操作。 3. **动态规划核心逻辑**:枚举每一对作为左右边界,并在此基础上执一次最大子段运算。 这种方法的时间复杂度为 \(O(N^2M)\),其中 \(N\) 是数,\(M\) 是数,在合理范围内能够满足性能需求[^5]。 --- ###
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