[数论,数学]集合求和

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数学或数论

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本文介绍了一个关于集合求和的问题，探讨了如何利用数论中的公式求解集合所有子集的元素之和。通过给出的代码示例，展示了如何直接应用公式 `(a1+a2+...+an) * (2^n - 1)` 来快速求解，其中 `n` 是集合元素数量，`a1, a2, ..., an` 是集合中的元素。该问题的输入是一个整数集合，输出是所有子集元素之和。提供的C++代码简洁地实现了这一计算过程。

今天给大家讲解集合求和这个题目

题目传送们洛谷
题目描述
给定一个集合s（集合元素数量<=30），求出此集合所有子集元素之和。

输入格式
集合中的元素（元素<=1000）

输出格式
和

输入输出样例
输入 #1
2 3
输出 #1
10
说明/提示
子集为：

[] [2] [3] [2 3] 2+3+2+3=10

保证结果在10^18以内。

思路

这个题目竟然都谈到了集合,那肯定是考我们数论的了。
众所周知给定了一个集合,元素为 $a 1, a 2, a 3 . . . . . . a n$ ,让你求出它所有子集的公式就是 $(a 1 + a 2 + a 3 + . . . . . . + a n) *$ 2^n-1。
接下来给大家推导以下公式：
我们知道一个元素个数为 $n$ 的集合存在2ⁿ个子集，并且根据排列组合，我们可以推出每个数字在每个子集中出现的次数为2^n-1。所以我们所有子集之和就是所有元素之和*2^n-1。
既然都知道了数学公式，那还有什么可以犹豫的,直接上代码！

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    long long tmp,num=0,sum=0;
    while(cin>>tmp)//输入
    {
        sum+=tmp;num++;
    }
    long long ans=sum*pow(2,num-1);//直接套公式
    cout<<ans;//输出
    return 0;
}