文章详细介绍了不同条件下的盒子与球的排列组合问题，包括不允许有空盒子和允许有空盒子的情况，以及球和盒子互不相同或相同的情况。通过插板法、递推公式和特殊情形的讨论，解析了各种情况下的放球方案数。
当球遇上盒子
现在我们开始进入著名的盒子与球问题，来练一练你的排列组合能力。
- 1.现在有 rrr 个互不相同的盒子和 nnn 个相同的球，要将这 nnn 个球放入 rrr 个盒子中，且不允许有空盒子，问有多少种放法？
我们考虑插板法，可以看成将一个不同的序列分成 rrr 段，则我们需要 r−1r-1r−1 个板子，并且供板子插的位置有 n−1n-1n−1 个，我们可以得到最终方案为 cn−1r−1c_{n-1}^{r-1}cn−1r−1。
- 2.现在有 rrr 个互不相同的盒子和 nnn 个相同的球，要将这 nnn 个球放入 rrr 个盒子中，且允许有空盒子，问有多少种放法？
可以发现，此题与上题的不同之处在于它允许有空盒子。所以，我们可以把这 rrr 个板子当做空球放进去，即只装一个样，而非真正的球。则此时，我们在用 r−1r-1r−1 个板子去插，便包含了空盒子的情况。最终方案数：Cn+r−1r−1C_{n+r-1}^{r-1}Cn+r−1r−1。
- 3.现在有 rrr 个相同的盒子和 nnn 个互不相同的球，要将这 nnn 个球放入 rrr 个盒子中，且不允许有空盒子，问有多少种放法？
此时，我们考虑递推。
我们定义 dpijdp_{ij}dpij 对应题意，并且这一类神奇的递推又被称作第二类斯特林数。
假设你现在正在放第 iii 个球，有两种情况：单独拿一个盒子装或者随便挑一个盒子放进去。
对于第一种，答案为 dpi−1,j−1dp_{i-1,j-1}dpi−1,j−1。
对于第二种，答案为 j×dpi−1,jj \times dp_{i-1,j}j×dpi−1,j。
所以 dpi,j=dpi−1,j−1+j×dpi−1,jdp_{i,j} = dp_{i-1,j-1}+j \times dp_{i-1,j}dpi,j=dpi−1,j−1+j×dpi−1,j
特殊情况：只有一个盒子时答案为 111，球数小于盒子数时答案为 000。
- 4.现在有 rrr 个相同的盒子和 nnn 个互不相同的球，要将这 nnn 个球放入 rrr 个盒子中，且允许有空盒子，问有多少种放法？
此题跟上题相像，只不过允许了空盒子。我们直接枚举最后有多少个空盒子即可。
最终方案：∑i=1ndpn,i\sum\limits_{i=1}^n dp_{n,i}i=1∑ndpn,i
- 5.现在有 rrr 个互不相同的盒子和 nnn 个互不相同的球，要将这 nnn 个球放入 rrr 个盒子中，且不允许有空盒子，问有多少种放法？
读完题目，发现与第三题仍然很像，只不过盒子从相同变成了不同，所以我们直接在最后乘上 mmm 个盒子的排列即可。
最终方案数：m!×dpn,rm!\times dp_{n,r}m!×dpn,r。
- 6.现在有 rrr 个互不相同的盒子和 nnn 个互不相同的球，要将这 nnn 个球放入 rrr 个盒子中，且允许有空盒子，问有多少种放法？
我们可以这样看这个问题：对于每一个球，我们都有 rrr 个盒子留给它放，所以最终答案：rnr^nrn。
- 7.把 nnn 个同样的小球放入 mmm 个同样的盒子中，不允许有的盒子空着不放，有多少种不同的放法？
我们再次考虑递推。
我们定义dpi,jdp_{i,j}dpi,j 表示将 iii 个小球放入 jjj 个盒子里…(此处省略。)
为了保证没有空盒，我们先往每一个盒子里放一个球。
剩下的我们想第四题一样思考，枚举使用盒子数量。
答案为 ∑i=1ndpn−m,i\sum\limits_{i=1}^{n} dp_{n-m,i}i=1∑ndpn−m,i。
特殊情况：当只有一个盒子或球数等于盒子数时，答案为 111；当球数小于盒子数时，答案为 000。
- 8.现在有 rrr 个相同的盒子和 nnn 个相同的球，要将这 nnn 个球放入 rrr 个盒子中，且允许有空盒子，问有多少种放法？
我们以第二题和第七题的思路进行思考
考虑转化：先借 mmm 个球铺满每个盒子，求完答案后再把球还回去。
最终答案为 dpn+m,ndp_{n+m,n}dpn+m,n
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
