3、数论中的求和、乘积与数学归纳法

数论中的求和、乘积与数学归纳法

一、求和与乘积的基本概念

1.1 求和符号

在数论研究中，求和与乘积的运算十分常见。我们引入求和符号来表示一系列数的和。对于数 (a_1, a_2, \cdots, a_n)，它们的和可以表示为：
(\sum_{k = 1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n)
这里的 (k) 是求和指标，它是一个“哑变量”，可以用任何字母代替，例如：
(\sum_{k = 1}^{n} a_k = \sum_{j = 1}^{n} a_j = \sum_{i = 1}^{n} a_i)

示例 ：
- (\sum_{j = 1}^{5} j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15)
- (\sum_{j = 1}^{5} 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10)
- (\sum_{j = 1}^{5} 2^j = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 62)

求和指标的范围可以是任意两个整数，只要下限不超过上限。若 (m) 和 (n) 是整数且 (m \leq n)，则 (\sum_{k = m}^{n} a_k = a_m + a_{m + 1} + \cdots + a_n)。

示例 ：
- (\sum_{k = 3}^{5} k^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 = 50)
- (\sum_{k = 0}^{2} 3^k = 3^0 + 3^1 + 3^2 = 13)
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