[素数筛 2020牛客NOIP赛前集训营-提高组（第二场）T1]GCD

最新推荐文章于 2022-10-10 11:08:57 发布

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质数筛

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今天给大家讲解GCD这个题目

题目描述
我们定义 $f (x) = g c d ($ $x$ 除 $1$ 以外的所有因子 $)$
询问从 $f (a) + f (a + 1) + . . . . . . + f (b)$

输入格式
输入两个正整数 a b
输出格式
输出一个正整数表示答案
样例
样例输入
5 7
样例输出
13
数据范围与提示
对于 100% 的数据， $1 < a < b <$ 10⁷

思路

牛客网的这场比赛我没有打,是赛后老师布置给我们的素数筛练习题。
我们先不看 $f (a) + f (a + 1) + . . . . . . + f (b)$ 具体的值是多少，我们只单独分析 $f (x)$ 本身，且我们设 $a n s$ 为最终答案。
情况一： $x$ 为质数
很显然,如果 $x$ 为质数则 $x$ 除一以外的因子就只有 $x$ 他本身,所以 $a n s + = x$ 。
情况二： $x$ 为一个质数 $y$ 的整数次方
为什么我们要讨论这种情况呢？因为当且仅当在这种情况下， $x$ 除去1以外的所有因子的 $g c d$ 一定是这个素数 $y$ 。所以最终答案 $a n s + = y$ 。
情况三： $x$ 非质数,也非一个质数的整数次方
这种情况下,没有什么可以讨论的, $a n s + = 1$ 。
讨论完了怎么处理 $f (x)$ 之后，就是要看怎么实现了。
至于怎么判断质数嘛，比较简单,直接运用我们以前学过的欧拉筛进行筛选。
至于怎么判断他是一个质数的整数次方也比较简单,我们在开始输入之前,将所有是质数平方的数字全部打上标记即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool st[10000001];
int primes[1000000];
int n,cnt=0,i,j;
int p[10000005];
//欧拉筛 
void ola(int n)
{
    st[1]=0;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(st[i])
        primes[cnt++]=i;
        for(j=0;primes[j]*i<=n&&j<=cnt;j++)
        {
            st[primes[j]*i]=0;
            if(i%primes[j]==0)
            break;
        }
    }
}
//处理所有是质数整数次方的数 
void func(int o)
{
	memset(p,0x3f,sizeof(p));
	for(int i=2;i<=sqrt(o);++i)
	{
		if(st[i]==0)
		continue;
		for(int j=2;pow(i,j)<=o;++j)
		{
			int e=pow(i,j);
			p[e]=min(p[e],i);
		}
	}
	for(int i=1;i<=o;++i)
	{
		if(p[i]==0x3f3f3f3f)
		p[i]=1;
	}
}
int main()
{
    memset(st,1,sizeof(st));
    int l,r;
	long long ans=0;
    scanf("%d%d",&l,&r);//输入
	//直接调用函数 
	ola(r);func(r);
    for(int i=l;i<=r;++i)
    {
    	if(st[i]==1)//判断是否是质数 
    	ans+=i;
    	else
    	ans+=p[i];
	}
	cout<<ans;//输出 
    return 0;
}