动态规划——0-1背包问题

问题描述

给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问：应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

算法设计分析

背包问题要求达到物品总价值的最优化，每一次选择作为一个阶段，根据前一个阶段的解可以求解出后一个阶段的解。定义状态F[i,y]，表示剩余容量为y，剩余物品为i, i+1, i+2 ,…, n的最优解。所以：

（2）式便是状态转移方程，而（1）式则是边界条件。

例如：假定n=5，物品收益p=[6,3,5,4,6]，物品重量w=[2,2,6,5,4]，且背包容量c=10。

要求的F[1, 10]是整个问题的解，F[1,10]=max{F[2, 10], F[2, 8]+6}，依次类推。调用关系用解空间树表示出来：

每个节点用y值来标识，即F[i,y]，其左孩子表示不选择物品i，得到F[i+1,y]；右孩子表示选择物品i，得到F[i+1,y-wi]+pi；从图中可以看出，对于F[3,8],F[4,8],F[4,2],F[5,8],F[5,2]的有重复计算。对于这种重叠子问题的计算，所以我们可以通过使用一