动态规划

最新推荐文章于 2025-10-21 00:02:34 发布

原创

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动态规划是一种解决复杂问题的方法，通过分解问题为子问题并利用子问题的解来构建原问题的解。它涉及最优子结构、无后效性和重叠子问题的特性。动态规划适用于具有这些特性的最优化问题，如斐波那契数列等。与分治和贪心算法不同，动态规划处理子问题的重叠，避免重复计算，通过状态转移方程和边界条件来构建最优解。

算法思想

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.——维基百科

动态规划的思想：将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存下来，即空间换时间。

动态规划的本质（核心），是对问题状态的定义和状态转移方程的定义，也可以用非数学的话来描述：原问题的解如何由子问题的解组合而成。

 考察一个实际问题： 

    斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 

    数学定义：F(0)=1,F(1)=1,F(2)=2,……, F(n)=F(n-1)+F(n-2)

上述的F(n)就是一个子问题，也就可以叫做状态，定义”F(n)为斐波那契数列的第n个数“，就叫做状态的定义。

而对于数学方程F(n)=F(n-1)+F(n-2)，可以理解为从状态F(n-1)和F(n-2)转移到状态F(n)，而这样的方程的定义就叫做状态转移方程的定义。

在对状态和状态转移方程的定义过程中，满足“最优子结构”是一个隐含的条件（否则根本定义不出来）。