0-1背包问题（动态规划）

背景：

此文章对于01背包问题有两种解法，思路可能有些抽象，还是建议写一写，跟着思路多想一想，就很简单了。

0-1背包问题 是一个经典的计算机科学问题，也是动态规划算法的典型应用之一。它可以简单地描述为：

• 你有一个背包，它能承载一定的重量。
• 你有一些物品，每个物品都有自己的重量和价值。
• 你的目标是：选择一些物品放入背包中，使得这些物品的总价值最大，同时总重量不超过背包的容量。

目录

一、问题引入

1.什么是动态规划？

2.什么是01背包问题？

二、例题引入

1.题目：

2.题目分析（二维解法）

2.1第一步：状态表示

2.2第二步：状态转移

2.2.1 初始化状态变量dp[i][j]

2.2.2 依次计算状态转移

 三、代码(二维解法）

四、另解（一维解法）

1.简要分析

1.1第一步：状态表示

1.2第二步：状态转移

1.2.1初始化状态变量dp[j]

1.2.2计算状态转移

五、代码（一维解法）

六、重难点分析（一维解法）

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一、问题引入

1.什么是动态规划？

动态规划的核心思想就是把一个大问题分解成很多小问题，然后逐个解决这些小问题，最后把这些小问题的解组合起来，就得到了大问题的解。

为什么要用动态规划？

• 有些问题直接解决很难，但是分解成小问题就容易多了。
• 很多小问题是重复的，我们可以把这些小问题的解保存起来，避免重复计算。

2.什么是01背包问题？

背包问题，就像在玩一个非常有趣的“装箱”游戏！

想象一下，你有一个背包，它只能装下一定重量的东西。现在，你面前有一堆玩具，每个玩具都有自己的重量和价值，每个玩具只能装一个。你的目标就是：在背包的重量限制下，装下尽可能多的玩具，并且让这些玩具的总价值最高。

举个例子：

假设你的背包最多能装10公斤的玩具。你有5个玩具：

• 玩具1： 重量2公斤，价值3元
• 玩具2： 重量3公斤，价值4元
• 玩具3： 重量4公斤，价值5元
• 玩具4： 重量5公斤，价值6元
• 玩具5： 重量6公斤，价值7元

怎么选才能让带走的玩具又多又值钱呢？这就是一个典型的背包问题。

二、例题引入

1.题目：

2.题目分析（二维解法）

2.1第一步：状态表示

使用dp[i][j]表示在前 i 个物品里选且不超过容量 j 的前提下，拥有的最大价值（i 为0~N-1，j 为0~V ）

v[i]为第i个物品的体积（从0开始）

w[i]为第i个物品的价值（从0开始）

注：以例题为例 （以下注均以此为例）