重心坐标

重心坐标

三角形内部点p的性质：

P的重心坐标：

坐标系角度求解

以a点为原点，ab,ac分别为新的坐标系的单位向量构建坐标系

定任意点P的坐标可以用 β , γ来表示，即 P(β,γ),
则

==>>

基底坐标变换

将该坐标 𝑥 从基底 𝑈 迁移到基底𝑉，得到新的坐标值
假设二维空间𝑅2存在标准基为{$e_1$,$e_2$}，任何𝑅2中的向量 $p$ 都可
以表示为线性组合: $p=x{e}_1+y{e}_2$。标量 $x$ 和 $y$ 可以看成是 $p$ 在
标准基下的坐标。
对任意𝑅2的基 {$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$} ，给定向量 $p$可唯一地表示为线性组合: $p=\beta \overrightarrow{AB}+\gamma \overrightarrow{AC}$，标量(β,γ)为 $p$相应于基{$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$}的坐标。

对于二维列向量，对应到空间中的坐标是(x, y)，其实就是基于默认基底：
二维基向量的完整表达就应该是


如图

向量(4,1)，在标准坐标系下坐标为4和1， 在基底向量为(1,2)和(3,-1)的坐标系下坐标为1和1
可以看出标准坐标系下的向量左乘 以两个新基底坐标构成的矩阵的逆， 就是在新坐标系下的坐标

由此可推出，在以a为坐标系原点，ab和ac为新的基底坐标下的坐标P(β,γ)，与标准坐标系下的坐标P的关系为

可得出两个二元一次方程，求解可求出β和γ的值，根据1-β-γ的出三个系数

代数求解

可分解为

根据

消除$\alpha$

两个二元一次方程

几何面积求解

可根据查处求三角形面积，根据各三角形面积的比求出三个系数

应用

由此可以通过三角形内任一点P(x,y),根据重新坐标求解三个系数 i，j，k

P = iA + jB + kC

ABCP代表的都是位置信息，但可以把ABCD的信息用别的任何信息来代替，例如颜色，法线，uv，深度等，然后套用上面的公式即可求出P点对应的属性

1. 若 i，j，k均大于0，则点 在三角形内部
2. 若其中一个为0，则点 在三角形的边或边的延长线上
3. 若其中两个为0，则 在三角形的一个顶点上。利用这个性质，可以判断射线是否与三角形相交

参考文章