poj 3233 Matrix Power Series

最新推荐文章于 2023-12-30 17:20:46 发布

Merry_hj

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分类专栏：矩阵快速幂

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本文介绍了一种使用二分法优化矩阵快速幂求和的方法，针对给定的矩阵A和正整数k，高效计算S=A+A^2+A^3+…+A^k，并通过代码实现展示了具体的算法流程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://poj.org/problem?id=3233
Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 109) and m (m < 104). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1
Sample Output

1 2
2 3
题目大意：给你一个矩阵A，算出 S = A + A^2 + A^3 + … + A^k.并输出矩阵S；

解题思路：由于这题的k比较的而时间只有3秒，除了算快速幂还要求累加，这样很容易超时，所以我们要想办法优化。这里我们可以用二分的方法来优化。
如：S(10) = A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5+ A^6 + A^7 + A^8 + A^9+ A^10；
= S(5) + A^5 *S(5);
S(5) = A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5;
= S(2) + A^3 + A^3*S(2);
S(2) = S(1) + A * S(1);
S(1) = A;
看到这，我们不难发现规律，那就是当k为奇数时s（k） = s（k/2）+A^(k/2+1)+A^(k/2+1)* s（k/2）;
当k为偶数时 s（k） = s（k/2）+A^(k/2)* s（k/2）;
利用这个规律就可以吧线性的时间复杂度简化为log（n）了。
具体代码实现：

#include <cstdio>
using namespace std;
struct Matrix
{
    int m[35][35];
}a;
int m;
Matrix Mult(Matrix a,Matrix b,int n)
{
    Matrix temp;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            temp.m[i][j] = 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
         temp.m[i][j] = (temp.m[i][j]+(a.m[i][k]*b.m[k][j])%m)%m;
    }
    return temp;
}
Matrix Add(Matrix a,Matrix b,int n)
{
    Matrix temp;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            temp.m[i][j] = 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            temp.m[i][j] = (a.m[i][j]+b.m[i][j])%m;
    }
    return temp;
}
Matrix QuickPower(Matrix a,int n,int k)
{
    Matrix ans,res;
    for(int i=1;i<=n;i++)
       for(int j=1;j<=n;j++)
       if(i==j)ans.m[i][j] = 1;
       else ans.m[i][j] = 0;
    res = a;
    while(k){
        if(k&1)
            ans = Mult(ans,res,n);
        res = Mult(res,res,n);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
Matrix work(int n,int k)
///核心代码，因为这里我们只要二分分到1时可以直接得到答案，所以直到k=1时返回到上一层，
///然后判断这一层的k是计数还是偶数，按照各自的规则算出他们的值然后再返回到上一层，直到结束，这样就可以算出s(k)了。
{
    if(k == 1)
        return a;
    Matrix res = work(n,k/2);
    Matrix temp;
    if(k&1){
        temp = Add(res,QuickPower(a,n,k/2+1),n);
        res = Add(temp,Mult(QuickPower(a,n,k/2+1),res,n),n);
    }
    else{
        res = Add(res,Mult(QuickPower(a,n,k/2),res,n),n);
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n,k;
     scanf("%d %d %d",&n,&k,&m);
     for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&a.m[i][j]);
     }
    Matrix S = work(n,k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("%d",S.m[i][1]);
        for(int j=2;j<=n;j++)
            printf(" %d",S.m[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}