网络流（最大流，最小割）基础入门详解

网络流基本定义：

源点：有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点。

汇点：另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点。

容量和流量：每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c(u,v)表示,流量则通常是f(u,v).

残余网络：r(u,v) = c(u,v) – f(u,v)，其中c(u,v) 表示容量，f(u,v)表示流量，r（u，v）表示残量网络

通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有“进入”他们的流量和等于所有从他本身“出去”的流量。

网络流的3个性质：

1、容量限制: f[u,v]<=c[u,v]

2、反对称性：f[u,v] = - f[v,u]

3、流量平衡: 对于不是源点也不是汇点的任意结点,流入该结点的流量和等于流出该结点的流量和。

只要满足这三个性质,就是一个合法的网络流.

最大流问题：

最大流问题，就是求在满足网络流性质的情况下，源点 s 到汇点 t 的最大流量。
问题：给出n个河流，m个点，以及每个河流的容量，求从1到m点的最大流量。

求解思路：

首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流
对于这种没有给出流量f的问题，称为零流问题，即所有的流量都是0的流。
(1).我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<=容量。
(2).那么，我们一定能找到这条路上的每一段的流量的值当中的最小值flow。我们把这条路上每一段的流量都减去这个flow，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的，然后再将这条路上的每一段的反向都加上这个flow。
(3).然后将每次的流量都加上flow，这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+flow，而这条路就叫做增广路。我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。
(4).当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。

注意事项：

1.反向边系列：
反向边求法：u->v的反向边f(v,u）=c(v,u)-f(v,u)=c(v,u)+f(u,v);
为什么要求反向边：在做增广路时可能会阻塞后面的增广路，或者说，做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的。但我们是任意找的，为了修正，就每次将流量加在了反向弧上，让后面的流能够进行自我调整。
例如：下边这个例子1位源点，4为汇点

如果我们第一次找的是1->2->3->4这条增广路径可以得到一个可行流为1，执行操作（2）后图形变成了如下：

这时我们再找增广路径，你会发现已经无法从1到达4了，所以这个时候的最大流就是1了，但显然这是错误的，如果我们分别走1->2->3和1->3->4这条路就可以得到一个为2的可行流。
为什么会出现这样的错误呢？
那是因为我们找从1到4的路径是随机的没有任何技巧可言，并不能保证从1到4的某条路就是最大流，但可以确定的是这条路径很可能会破坏其他路径，而破坏的路径可能是构成最大流的其中一条路径。所以这个时候我们要给程序一个后悔的机会，即添加一条反向路径。具体看下边这个过程：
我们在找到1->2->3->4这条增广路径后需要修改原图如下：

这样修改图后，可以发现，这个时候还存在增广路径1->3->2->4，然后修改图如下：

加上之前的1->2->3->4，此时的最大流为2。
那么，这么做为什么会是对的呢？
事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给“退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。
如果这里没有2-4怎么办？
这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点
同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来“接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流。
CODE：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

int Map[210][210];
int pre[210];
int flow[210];
int n,m;
int bfs(int s,int t)
{
    queue<int> Q;
    memset(pre,-1,sizeof(pre));
    pre[s] = 0;
    flow[s] = INF;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty()){
        int index = Q.front();
        Q.pop();
        if(index == t)
            break;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            if(i!=s && Map[index][i]>0&&pre[i]==-1){
                pre[i] = index;
                flow[i] = min(flow[index],Map[index][i]);
                Q.push(i);
            }
        }
    }
    if(pre[t] == -1)///到不了汇点
        return -1;
    else
        return flow[t];
}
int Max_flow(int s,int t)
{
    int inc=0,sumflow=0;
    while(bfs(s,t)!=-1){
        inc = bfs(s,t);
        int k = t;
        while(k!=s){
            int last = pre[k];
            Map[last][k] -= inc;
            Map[k][last] += inc;
            k = last;
        }
        cout<<"曾广："<<inc<<endl;
        sumflow += inc;
    }
    return sumflow;
}
int main()
{
    int u,v,c;
    while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
        memset(Map,0,sizeof(Map));
        memset(flow,0,sizeof(flow));
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d %d %d",&u,&v,&c);
            if(u == v) continue;
            Map[u][v] += c;
        }
        cout<<Max_flow(1,m)<<endl;
    }
    return 0;
}

最小割

割的定义：设Ci为网络G中一些弧的集合，若从G中删去Ci中的所有弧能使得从源点Vs到汇点Vt的路集为空集时，称Ci为Vs和Vt间的一个割。（注意，必须是删除Ci中的所有边）
最小割：图中所有的割中，边权值和最小的割为最小割。

最小割与最大流的关系

我以下边这个例子来说明最大流和最小割之间的关系：

从1到4，中间经过2,3两节点，问此时的最大流是多少？
首先找一条从1到4的路径[1,2,4]，该路径的最大流量是min(2,3)=2，因为[1,2]上面的容量已经被用了，所以路径[1,2,3,4]就行不通了，割去[1,2]后图变成了以下形式：

此时再找从1到4的路径[1,3,4]，路径的最大流量是min(3,6)=3.割去[b,t]后，图如下：

此时就不存在从S到t的可行路径了，则结束最大流的查找。此时的最大流是2+3=5，被割的边容量和是2+3=5，即最大流=最小割。从这两个例子我们已经能理解最大流和最小割大体的含义了，也发现最大流的确和最小割是相等的从数值上来看。但只从这两个小例子就证明最大流和最小割相等是绝对不严格的，严格的数学证明可自行百度相关资料。