【扩散映射+线性卡尔曼滤波+Koopman算子】一种用于高维非线性随机动力系统状态估计的非参数方法，按照具有各向同性扩散的梯度流演化附Matlab代码

✅作者简介：热爱科研的Matlab仿真开发者，擅长数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。

🍎 往期回顾关注个人主页：Matlab科研工作室

🍊个人信条：格物致知,完整Matlab代码及仿真咨询内容私信。

🔥 内容介绍

高维非线性随机动力系统（如气象预测、流体运动、生物种群演化）的状态估计面临两大核心挑战：一是系统维度高导致传统滤波（如粒子滤波）计算复杂度爆炸，二是非线性动力学特性使参数化模型（如扩展卡尔曼滤波 EKF）线性化误差显著。本文提出的 “扩散映射（Diffusion Maps）+ Koopman 算子 + 线性卡尔曼滤波（LKF）” 非参数方法，通过各向同性扩散的梯度流实现 “降维 - 线性化 - 滤波” 的协同，无需显式构建系统动力学模型，仅依赖数据驱动即可实现高精度状态估计。

一、方法核心框架与技术原理

该方法的核心逻辑是：利用扩散映射将高维非线性系统嵌入低维流形，通过 Koopman 算子将流形上的非线性动力学转化为线性演化，最终在 Linearized Koopman 空间中用线性卡尔曼滤波实现状态估计，全程遵循各向同性扩散的梯度流演化规则。

1.1 各向同性扩散的梯度流演化机制（方法灵魂）

“各向同性扩散” 指扩散过程在空间所有方向上具有一致的扩散速率（无方向偏好），其梯度流演化是贯穿整个方法的核心逻辑，具体体现在三个层面：

（1）扩散映射的流形嵌入：基于密度梯度的低维映射

扩散映射的本质是通过高斯核相似性构建数据点间的 “扩散概率”，模拟热传导式的各向同性扩散过程，其低维嵌入过程等价于沿数据密度场梯度方向的平滑流动：

二、方法实现步骤（非参数数据驱动流程）

三、方法优势与关键性能指标

四、应用场景与未来方向

4.1 典型应用场景

1. 流体力学

   ：高维湍流速度场估计、管道流压力分布监测；

2. 气象与海洋

   ：大气温度 / 湿度场预测（高维气象数据）、海洋环流状态估计；

3. 生物医学

   ：神经元集群电位信号（高维电生理数据）的状态估计、肿瘤扩散动力学建模；

4. 工业过程

   ：化工反应釜内浓度场（高维传感器数据）的实时估计与控制。

4.2 未来研究方向

1. 多模态观测融合

   ：当前方法仅支持单一模态观测（如速度场），未来可结合扩散映射的多视图嵌入，融合温度、压力等多模态观测，进一步提升估计精度；

2. 深度学习增强

   ：用自编码器替代传统扩散映射，自动学习低维嵌入（无需人工选择\(\epsilon\)），用循环神经网络（RNN）估计时变 Koopman 矩阵，适应强时变系统；

3. 非高斯噪声适配

   ：当前方法假设噪声为高斯分布，未来可结合 Copula 函数扩展至非高斯噪声场景（如脉冲噪声），拓宽方法的适用范围。

五、结论

本文提出的 “扩散映射 - Koopman 算子 - 线性卡尔曼滤波” 非参数方法，通过各向同性扩散的梯度流实现了高维非线性随机系统的高效状态估计：扩散映射的梯度流引导低维嵌入，Koopman 算子的梯度优化实现全局线性化，线性卡尔曼滤波的梯度校正完成状态更新。该方法无需显式系统模型，计算复杂度低，鲁棒性强，为高维非线性系统的状态估计提供了一种数据驱动的新范式，尤其适用于模型未知、维度高、噪声复杂的实际工程场景。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 郭瑞林.基于互信息理论的非参数方法分析及其在图像分割中的应用[D].云南大学,2012.DOI:CNKI:CDMD:2.1012.419647.

[2] 李强.复杂内容图像分割的活动轮廓模型研究[D].哈尔滨工程大学,2016.

📣 部分代码

🎈 部分理论引用网络文献，若有侵权联系博主删除

 👇 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料 

🏆团队擅长辅导定制多种科研领域MATLAB仿真，助力科研梦：

🌈 各类智能优化算法改进及应用

生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划（2E-VRP）、充电车辆路径规划（EVRP）、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位

🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌈图像处理方面

图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知

🌈 路径规划方面

旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等）、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划（EVRP）、 双层车辆路径规划（2E-VRP）、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻

🌈 无人机应用方面

无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划

🌈 通信方面

传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配

🌈 信号处理方面

信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理+传输+分析+去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测

🌈电力系统方面

微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电

🌈 元胞自动机方面

交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀

🌈 雷达方面

卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化、NLOS识别

🌈 车间调度

零等待流水车间调度问题NWFSP 、 置换流水车间调度问题PFSP、 混合流水车间调度问题HFSP 、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP

👇