【EKF、UKF、PF、EPF、UPF】改进的粒子滤波算法及其应用研究附Matlab代码

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🔥 内容介绍

在,目标跟踪、信号处理等领域,滤波算法扮演着关键角色。扩展卡尔曼滤波(EKF)、无迹卡尔曼滤波(UKF)、粒子滤波(PF)及其衍生的期望传播粒子滤波(EPF)、无迹粒子滤波(UPF)等算法,在不同场景下各有优劣。随着应用场景复杂度的提升,传统算法逐渐显露出局限性,对粒子滤波算法进行改进成为研究热点。本文将深入探讨改进的粒子滤波算法及其在多领域的应用。

一、传统滤波算法概述

1.1 扩展卡尔曼滤波(EKF)

EKF 是在卡尔曼滤波基础上,针对非线性系统提出的一种近似线性化方法。它通过对非线性函数进行泰勒级数展开,保留一阶项,将非线性问题转化为线性问题进行求解。然而,这种线性化处理会引入截断误差,在系统非线性程度较高时,滤波精度会受到严重影响,甚至出现滤波发散的情况。

1.2 无迹卡尔曼滤波(UKF)

UKF 摒弃了 EKF 的线性化近似方法,采用 Sigma 点采样策略。它通过选取一组 Sigma 点,使其均值和协方差与原状态分布相匹配,然后将这些点代入非线性函数,直接计算非线性变换后的均值和协方差。UKF 在处理非线性系统时,比 EKF 具有更高的精度,能更准确地描述系统状态的分布。

1.3 粒子滤波(PF)

粒子滤波基于蒙特卡罗方法,通过大量随机样本(粒子)来近似系统状态的后验概率分布。每个粒子携带状态信息,根据重要性权重来反映其对真实状态的接近程度。PF 能够处理高度非线性、非高斯的系统,在复杂环境下具有较好的适应性,但存在粒子退化和计算量过大的问题,尤其是在高维状态空间中,计算效率显著降低。

1.4 期望传播粒子滤波(EPF)与无迹粒子滤波(UPF)

EPF 结合了期望传播算法和粒子滤波,通过引入期望传播机制,对粒子权重进行优化,减少粒子退化现象,提高滤波性能。UPF 则融合了 UKF 和 PF 的优势,利用 UKF 的 Sigma 点采样策略生成重要性函数,改善粒子的分布,从而提升滤波精度和稳定性 。

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下面是一个简单的例子,比较了四种滤波器(EKFUKFPFEPF)的性能。本例中使用的是Matlab。 ```matlab %% 程序设置 clc; clear all; close all; %% 模型设置 % 状态转移方程:x(k+1) = Fx(k) + v(k) F = [1 1; 0 1]; % 观测方程:y(k) = Hx(k) + w(k) H = [1 0]; % 过程噪声的协方差矩阵Q q = 0.1; Q = [q^3/3 q^2/2; q^2/2 q]; % 测量噪声的方差R r = 1; R = r^2; % 初始状态和协方差矩阵 x0 = [0;0]; P0 = [1 0; 0 1]; %% 仿真设置 N = 100; % 时间步数 x = zeros(2,N); % 状态向量 y = zeros(1,N); % 观测向量 x(:,1) = mvnrnd(x0',P0)'; % 初始状态 for k = 2:N % 生成状态和观测噪声 vk = mvnrnd([0,0],Q)'; wk = normrnd(0,sqrt(R)); % 系统模型 x(:,k) = F*x(:,k-1) + vk; % 观测模型 y(k) = H*x(:,k) + wk; end %% EKF算法 x_ekf = zeros(2,N); % 估计状态向量 P_ekf = zeros(2,2,N); % 估计协方差矩阵 x_ekf(:,1) = x0; % 初始状态 P_ekf(:,:,1) = P0; % 初始协方差矩阵 for k = 2:N % 预测 x_ = F*x_ekf(:,k-1); P_ = F*P_ekf(:,:,k-1)*F' + Q; % 更新 K = P_*H'*inv(H*P_*H' + R); x_ekf(:,k) = x_ + K*(y(k) - H*x_); P_ekf(:,:,k) = (eye(2) - K*H)*P_; end %% UKF算法 x_ukf = zeros(2,N); % 估计状态向量 P_ukf = zeros(2,2,N); % 估计协方差矩阵 x_ukf(:,1) = x0; % 初始状态 P_ukf(:,:,1) = P0; % 初始协方差矩阵 alpha = 1e-3; % UKF参数 beta = 2; % UKF参数 kappa = 0; % UKF参数 for k = 2:N % 预测 [X,Wm,Wc] = mySigmaPoints(x_ukf(:,k-1),P_ukf(:,:,k-1),alpha,beta,kappa); X_ = F*X; x_ = X_*Wm'; P_ = (X_ - x_)*(X_ - x_)'*Wc + Q; % 更新 [X,Wm,Wc] = mySigmaPoints(x_,P_,alpha,beta,kappa); Y_ = H*X; y_ = Y_*Wm'; Pyy = (Y_ - y_)*(Y_ - y_)'*Wc + R; Pxy = (X_ - x_)*(Y_ - y_)'*Wc; K = Pxy/Pyy; x_ukf(:,k) = x_ + K*(y(k) - y_); P_ukf(:,:,k) = P_ - K*Pyy*K'; end %% PF算法 Np = 1000; % 粒子数 x_pf = zeros(2,N); % 估计状态向量 w_pf = zeros(Np,N); % 权重向量 for i = 1:Np x_pf(:,1,i) = mvnrnd(x0',P0)'; w_pf(i,1) = 1/Np; end for k = 2:N % 预测 for i = 1:Np x_pf(:,k,i) = F*x_pf(:,k-1,i) + mvnrnd([0;0],Q)'; end % 更新 for i = 1:Np w_pf(i,k) = w_pf(i,k-1) * normpdf(y(k),H*x_pf(:,k,i),sqrt(R)); end w_pf(:,k) = w_pf(:,k) / sum(w_pf(:,k)); % 重采样 idx = myResampling(w_pf(:,k)); x_pf(:,:,k) = x_pf(:,:,k,idx); w_pf(:,k) = w_pf(idx,k); end %% EPF算法 Np = 1000; % 粒子数 x_epf = zeros(2,N); % 估计状态向量 w_epf = zeros(Np,N); % 权重向量 for i = 1:Np x_epf(:,1,i) = mvnrnd(x0',P0)'; w_epf(i,1) = 1/Np; end for k = 2:N % 预测 for i = 1:Np x_epf(:,k,i) = F*x_epf(:,k-1,i) + mvnrnd([0;0],Q)'; end % 更新 for i = 1:Np w_epf(i,k) = w_epf(i,k-1) * exp(-0.5*(y(k) - H*x_epf(:,k,i))^2/R); end w_epf(:,k) = w_epf(:,k) / sum(w_epf(:,k)); % 重采样 idx = myResampling(w_epf(:,k)); x_epf(:,:,k) = x_epf(:,:,k,idx); w_epf(:,k) = w_epf(idx,k); end %% 结果绘制 figure; plot(1:N,x(1,:),'b',1:N,x_ekf(1,:),'r',1:N,x_ukf(1,:),'g',1:N,squeeze(mean(x_pf(1,:,:),3)),'k',1:N,squeeze(mean(x_epf(1,:,:),3)),'m','LineWidth',2); legend('真实值','EKF','UKF','PF','EPF'); title('状态 x1 的估计'); xlabel('时间步'); ylabel('状态值'); figure; plot(1:N,x(2,:),'b',1:N,x_ekf(2,:),'r',1:N,x_ukf(2,:),'g',1:N,squeeze(mean(x_pf(2,:,:),3)),'k',1:N,squeeze(mean(x_epf(2,:,:),3)),'m','LineWidth',2); legend('真实值','EKF','UKF','PF','EPF'); title('状态 x2 的估计'); xlabel('时间步'); ylabel('状态值'); figure; plot(1:N,y,'b',1:N,H*x_ekf,'r',1:N,H*x_ukf,'g',1:N,H*squeeze(mean(x_pf(:,:,end),3)),'k',1:N,H*squeeze(mean(x_epf(:,:,end),3)),'m','LineWidth',2); legend('真实值','EKF','UKF','PF','EPF'); title('观测值和估计值'); xlabel('时间步'); ylabel('观测值'); ``` 这段程序演示了如何使用Matlab编写一个比较四种滤波器的程序。程序中使用了一个简单的线性状态空间模型,包括一个状态转移方程和一个观测方程。程序中使用了EKFUKFPFEPF四种算法进行估计,并比较了它们的性能。在结果绘制中,我们可以看到不同算法的估计结果。
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