【图像压缩】基于奇异值分解SVD+分块奇异值分解SVD+小波变换结合奇异值分解SVD图像压缩压缩比与信噪比附Matlab代码

原创已于 2024-12-23 21:46:38 修改 · 1.2k 阅读

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于 2024-02-19 22:46:56 首次发布

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本文探讨了使用奇异值分解(SVD)、分块SVD和小波变换结合SVD的图像压缩技术，比较了它们在压缩比和信噪比上的表现，指出小波变换结合SVD在压缩效率和质量上具有优势。

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🔥 内容介绍

图像压缩在图像处理和传输中至关重要，它可以减少图像文件的大小，同时保持视觉上可接受的质量。本文将探讨基于奇异值分解（SVD）、分块奇异值分解（SVD）和小波变换结合奇异值分解（SVD）的三种图像压缩方法，并分析它们的压缩比和信噪比（SNR）。

奇异值分解（SVD）

奇异值分解（SVD）是一种矩阵分解技术，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：

A = UΣV^T

其中，U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵，其对角线元素称为奇异值。

基于奇异值分解（SVD）的图像压缩

基于奇异值分解（SVD）的图像压缩方法利用了图像中数据的相关性。通过对图像进行SVD分解，可以将图像表示为奇异值和奇异向量的线性组合。然后，可以通过截断较小的奇异值来降低图像的秩，从而实现压缩。

分块奇异值分解（SVD）

分块奇异值分解（SVD）是一种改进的SVD方法，它将图像划分为较小的块，然后对每个块进行SVD分解。这种方法可以更好地捕捉图像中的局部特征，从而提高压缩效率。

小波变换结合奇异值分解（SVD）

小波变换是一种时频分析技术，可以将图像分解为不同尺度的子带。通过将小波变换与SVD相结合，可以进一步提高图像压缩效率。小波变换可以捕获图像中的边缘和纹理等高频成分，而SVD可以捕获低频成分。

压缩比和信噪比

图像压缩的两个重要指标是压缩比和信噪比（SNR）。压缩比衡量压缩后图像文件的大小与原始图像文件大小之比，而SNR衡量压缩后图像的质量。

📣 部分代码

function [ err ] = mmwrite(filename,A,comment,field,precision)%% Function: mmwrite(filename,A,comment,field,precision)%%    Writes the sparse or dense matrix A to a Matrix Market (MM) %    formatted file.%% Required arguments: %%                 filename  -  destination file%%                 A         -  sparse or full matrix%% Optional arguments: %%                 comment   -  matrix of comments to prepend to%                              the MM file.  To build a comment matrix,%                              use str2mat. For example:%%                              comment = str2mat(' Comment 1' ,...%                                                ' Comment 2',...%                                                ' and so on.',...%                                                ' to attach a date:',...%                                                [' ',date]);%                              If ommitted, a single line date stamp comment%                              will be included.%%                 field     -  'real'%                              'complex'%                              'integer'%                              'pattern'%                              If ommitted, data will determine type.%%                 precision -  number of digits to display for real %                              or complex values%                              If ommitted, full working precision is used.%if ( nargin == 5)   precision = 16;elseif ( nargin == 4)   precision = 16;elseif ( nargin == 3)   mattype = 'real'; % placeholder, will check after FIND-ing A  precision = 16;elseif ( nargin == 2)   comment = '';  % Check whether there is an imaginary part:  mattype = 'real'; % placeholder, will check after FIND-ing A  precision = 16;endmmfile = fopen([filename],'w');if ( mmfile == -1 ) error('Cannot open file for output');end;[M,N] = size(A);%%%%%%%%%%%%%       This part for sparse matrices     %%%%%%%%%%%%%%%%if ( issparse(A) )  [I,J,V] = find(A);  if ( sum(abs(imag(nonzeros(V)))) > 0 )    Vreal = 0;   else     Vreal = 1;   end  if ( ~ strcmp(mattype,'pattern') & Vreal )    mattype = 'real';   elseif ( ~ strcmp(mattype,'pattern') )    mattype = 'complex';  end%% Determine symmetry:%  if ( M ~= N )    symm = 'general';    issymm = 0;    NZ = length(V);  else    issymm = 1;    NZ = length(V);    for i=1:NZ      if ( A(J(i),I(i)) ~= V(i) )        issymm = 0;        break;      end    end    if ( issymm )      symm = 'symmetric';      ATEMP = tril(A);      [I,J,V] = find(ATEMP);      NZ = nnz(ATEMP);    else      isskew = 1;      for i=1:NZ        if ( A(J(i),I(i)) ~= - V(i) )          isskew = 0;          break;        end      end      if ( isskew )        symm = 'skew-symmetric';        ATEMP = tril(A);        [I,J,V] = find(ATEMP);        NZ = nnz(ATEMP);      elseif ( strcmp(mattype,'complex') )        isherm = 1;        for i=1:NZ          if ( A(J(i),I(i)) ~= conj(V(i)) )            isherm = 0;            break;          end        end        if ( isherm )          symm = 'hermitian';          ATEMP = tril(A);          [I,J,V] = find(ATEMP);          NZ = nnz(ATEMP);        else           symm = 'general';          NZ = nnz(A);        end      else        symm = 'general';        NZ = nnz(A);      end    end  end% Sparse coordinate format:  rep = 'coordinate';  fprintf(mmfile,'%%%%MatrixMarket matrix %s %s %s\n',rep,mattype,symm);  [MC,NC] = size(comment);  if ( MC == 0 )    fprintf(mmfile,'%% Generated %s\n',[date]);  else    for i=1:MC,      fprintf(mmfile,'%%%s\n',comment(i,:));    end  end  fprintf(mmfile,'%d %d %d\n',M,N,NZ);  cplxformat = sprintf('%%d %%d %% .%dg %% .%dg\n',precision,precision);  realformat = sprintf('%%d %%d %% .%dg\n',precision);  if ( strcmp(mattype,'real') )     for i=1:NZ        fprintf(mmfile,realformat,I(i),J(i),V(i));     end;  elseif ( strcmp(mattype,'complex') )  for i=1:NZ     fprintf(mmfile,cplxformat,I(i),J(i),real(V(i)),imag(V(i)));  end;  elseif ( strcmp(mattype,'pattern') )     for i=1:NZ        fprintf(mmfile,'%d %d\n',I(i),J(i));     end;  else       err = -1;     disp('Unsupported mattype:')     mattype  end;%%%%%%%%%%%%%       This part for dense matrices      %%%%%%%%%%%%%%%%else  if ( sum(abs(imag(nonzeros(A)))) > 0 )    Areal = 0;   else     Areal = 1;   end  if ( ~strcmp(mattype,'pattern') & Areal )    mattype = 'real';  elseif ( ~strcmp(mattype,'pattern')  )    mattype = 'complex';  end%% Determine symmetry:%  if ( M ~= N )    issymm = 0;    symm = 'general';  else    issymm = 1;    for j=1:N       for i=j+1:N        if (A(i,j) ~= A(j,i) )          issymm = 0;             break;         end      end      if ( ~ issymm ) break; end        end    if ( issymm )      symm = 'symmetric';    else      isskew = 1;      for j=1:N         for i=j+1:N          if (A(i,j) ~= - A(j,i) )            isskew = 0;               break;           end        end        if ( ~ isskew ) break; end      end      if ( isskew )        symm = 'skew-symmetric';      elseif ( strcmp(mattype,'complex') )        isherm = 1;        for j=1:N           for i=j+1:N            if (A(i,j) ~= conj(A(j,i)) )              isherm = 0;                 break;             end          end          if ( ~ isherm ) break; end        end        if ( isherm )          symm = 'hermitian';        else           symm = 'general';        end      else        symm = 'general';      end    end  end% Dense array format:  rep = 'array';  [MC,NC] = size(comment);  fprintf(mmfile,'%%%%MatrixMarket mtx %s %s %s\n',rep,mattype,symm);  for i=1:MC,    fprintf(mmfile,'%%%s\n',comment(i,:));  end;  fprintf(mmfile,'%d %d\n',M,N);  cplxformat = sprintf('%% .%dg %% .%dg\n', precision,precision);  realformat = sprintf('%% .%dg\n', precision);  if ( ~ strcmp(symm,'general') )     rowloop = 'j';  else      rowloop = '1';  end  if ( strcmp(mattype,'real') )     for j=1:N       for i=eval(rowloop):M          fprintf(mmfile,realformat,A(i,j));       end     end  elseif ( strcmp(mattype,'complex') )     for j=1:N       for i=eval(rowloop):M          fprintf(mmfile,cplxformat,real(A(i,j)),imag(A(i,j)));       end     end  elseif ( strcmp(mattype,'pattern') )     err = -2     disp('Pattern type inconsistant with dense matrix')  else     err = -2     disp('Unknown matrix type:')     mattype  endendfclose(mmfile);