AI基础数学之——掌握中学基础数学：一、代数-一元二次方程及其应用

​​

AI基础数学之——掌握中学基础数学：一、代数-一元二次方程及其应用

✨前言✨

本系列文章目的在于将 中学数学 以计算机语言的方式来完整的讲解表述出来，使得在这个学习过程中可以让在中学就开始接触计算机编程的学生们可以快速的将计算机与所学的内容联合在一起，实践出真知，天赋不是先天自来，而是后天无数次的练习，无数次的使用，每天都在用，没时都在用，每刻都在用才会让这个技能真正的变成自己的能力，这就是本系列文章的目的。

前置 C++ 与 Python 的环境与基础内容

标题	连接
C++ 环境理解与配置 (MinGW)	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145429540
C++ 的 Visual Studio Code 运行环境配置	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145429599
入门 C++ 语言：C++ 课程目录	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145429870
Python 环境配置与 Jupyter Notebook 开发工具下载使用	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145452751
入门 Python 语言：Python 基础课程目录	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145453148

中学数学——学习脑图

📚本篇目标

1. 理解一元二次方程的标准形式
2. 掌握求根公式与判别式的应用
3. 学会解决实际问题中的二次方程应用
4. 掌握特殊解法（因式分解法）

---

📖 学习正文

标准形式

$$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$$

求根公式

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

判别式

$$\Delta =b^2-4ac$$

• $\Delta >0$：两个不等实根
• $\Delta =0$：两个相等实根
• $\Delta <0$：无实根（复数根）

---

📝 题目示例

方程：$2x^2-4x-6=0$
解：

1. 计算判别式：$\Delta =(-4{)}^2-4\times 2\times (-6)=16+48=64$
2. 代入公式：$x=\frac{4\pm \sqrt{64}}{4}=\frac{4\pm 8}{4}$
3. 结果：$x_1=3,x_2=-1$

---

💡 解题思路

1. 整理为标准形式
2. 计算判别式判断根的情况
3. 选择解法（公式法/因式分解法）
4. 验证解的合理性

---

🔑 解题技巧

1. 优先尝试因式分解法（如$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$）
2. 注意实际问题中负解的舍去
3. 利用韦达定理验证根的和与积：
   $$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$$

---

📝 练习题

单选题

1. 方程$x^2-6x+9=0$的根情况是：
   A) 两个不等实根
   B) 两个相等实根
   C) 无实根
   D) 无法判断

2. 方程$2x^2+3x-2=0$的解是：
   A) 1和-2
   B) 0.5和-2
   C) -0.5和2
   D) 无解

3. 判别式$\Delta =0$时，根的情况是：
   A) 无实根
   B) 两个正根
   C) 两个相同实根
   D) 一正一负

4. 方程$x^2+4=0$的解集是：
   A) {2}
   B) {-2,2}
   C) 无实根
   D) {0}

5. 某矩形面积为24㎡，长比宽多2米，设宽为x，方程应为：
   A) x(x+2)=24
   B) x^2=24
   C) 2x+2(x+2)=24
   D) x(x-2)=24

多选题

1. 下列属于一元二次方程的是：
   A) $3x^2-x=0$
   B) $x^3+2x=1$
   C) $(x-1)(x+2)=0$
   D) $5x-2=0$

2. 方程$x^2-5x+6=0$的正确解法包括：
   A) 公式法
   B) 因式分解为(x-2)(x-3)
   C) 开平方法
   D) 图像法

3. 关于判别式Δ，正确的有：
   A) 决定根的个数
   B) 影响根的符号
   C) 计算公式为$b^2-4ac$
   D) 负数时无解

判断题

1. 方程$a{x}^2+bx=0$总有实数解（ ）
2. 当Δ=25时，方程有两个整数解（ ）

解答题

1. 解方程：$x^2-4x=5$
2. 已知方程$x^2+px+q=0$的两根为3和-1，求p和q
3. 用配方法解方程：$x^2-6x+8=0$

代码题

# 编写解一元二次方程的程序
def solve_quadratic(a, b, c):
    delta = b**2 - 4*a*c
    if delta < 0:
        return "无实根"
    x1 = (-b + delta**0.5)/(2*a)
    x2 = (-b - delta**0.5)/(2*a)
    return (round(x1,2), round(x2,2))

# 测试案例
print(solve_quadratic(1, -5, 6))  # 应返回(3.0, 2.0)

📌 答案解析

单选题

B) Δ=36-36=0
B) 解得x=0.5和x=-2
C) 判别式定义
C) Δ= -16
A) 长=x+2

多选题

AC
AB
ACD

判断题

√（可分解为x(ax+b)=0）
×（Δ=25时根可能为分数）

解答题答案

1.$x^2-4x=5$=0→ $(x-5)(x+1)=0\to x=5或x=-1$
2.根据韦达定理：p=-(3-1)=-2，q=3×(-1)=-3
3.$(x-3{)}^2=1\to x=4或2$

代码题

def solve_quadratic(a, b, c):
    """
    求解一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根

    参数:
    a (float): 二次项系数
    b (float): 一次项系数
    c (float): 常数项

    返回:
    tuple: 方程的两个根，如果无实根则返回 "无实根"
    """
    # 计算判别式 delta
    delta = b**2 - 4*a*c
    
    # 判断判别式的值
    if delta < 0:
        # 如果 delta 小于 0，方程无实根
        return "无实根"
    
    # 计算方程的两个根
    x1 = (-b + delta**0.5)/(2*a)
    x2 = (-b - delta**0.5)/(2*a)
    
    # 返回两个根，保留两位小数
    return (round(x1,2), round(x2,2))

# 调用 solve_quadratic 函数，求解方程 x^2 - 5x + 6 = 0 的根
print(solve_quadratic(1, -5, 6))

✨ 总结

一元二次方程是代数基础核心内容，掌握求根公式和判别式是解题关键。实际应用中要注意解的合理性验证，特殊解法能提升解题效率。通过编程实现方程求解，可加深对数学原理的理解。