最少硬币问题

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设有n 种不同面值的硬币，各硬币的面值存于数组T［1:n］中。现要用这些面值的硬币来找钱。可以使用的各种面值的硬币个数与面值分别存于数组Coin［1:n］和T[1:n]中。对任意钱数0≤m≤20001，设计一个用最少硬币找钱m的方法，对于给定的1≤n≤10，硬币面值数组T和可以使用的各种面值的硬币个数数组Coins，以及钱数m，0≤m≤20001，编程计算找钱m的最少硬币数。由文件input.txt 提供输入数据，文件的第一行中只有1 个整数给出n的值,第2 行起每行2 个数，分别是T[j]和Coins[j]。最后1 行是要找的钱数m。

我们可以先把此问题简化，不限制各类硬币的使用个数，问最少需要多少硬币。钱数i的最少需要多少个硬币怎么推出来呢？我们可以得到一个必然的结论：如果存在最小值，数值为i的最少硬币数必定为数值为j(j <i)推出，且容易得到递推方程F[i] = min(F[i – coin[k] ] + 1, F[i])。

然而我们对钱个数进行限制后，此方程就不能再使用了，因为有时候我们达到最小值用了2个5，却只提供1个5,1个2，1个3,这时候我们所需的另一个5就需要从1个2，1个3替代得到。我们对条件进行限制后，问题并没有得到简单，而是变得更难了。

既然对钱数进行了限制，上面那个递推方程就不能再使用了，然而我们还是可以从其中得到很多有用的信息，F[i] = min(F[i – coin[k] ] + 1, F[i])，看起来只使用了coin[k]一次，但F[i – coin[k]]也可能使用了coin[k]来得到最优值，那么coin[k]最多可能被使用i / coin[k]次。我们所需要做的就是限制这个i / coin[k]使它不大于限定的次数。

我们可以一次一次的向最优值上面累加coin[k]，并且累加的次数不大于给定的次数即可。这时候仍存在一个问题，就是递推需要从后往前推，因为每次都是更次后面的值(如果使用二维数就不存在这类问题）。问题顺利解决。

 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXM 20002
#define MAXN 10

int coins [ MAXN ];
int T [ MAXN ];
int f [ MAXM ];
int m , n;

int minCoin( int n , int m) {
    for( int i = 0; i <= m; ++ i) {
        f [ i ] = i + 1;
    }
    f [ 0 ] = 0;
    for( int i = 0; i < n; ++ i) {
        for( int k = 0; k < coins [ i ]; ++ k) {
            for( int j = m - T [ i ]; j >= 0; -- j) {
                if( f [ j ] <= j) {
                    f [ j + T [ i ]] = min( f [ j + T [ i ]], f [ j ] + 1);
                }
            }
        }
    }
    if( f [ m ] > m) {
        return - 1;
    } else {
        return f [ m ];
    }
}

int main() {
    scanf( "%d" , &n);
    for( int i = 0; i < n; ++ i) {
        scanf( "%d %d" , & T [ i ], & coins [ i ]);
    }
    scanf( "%d" , & m);

    int ans = minCoin(n , m);
    printf( "%d /n " , ans);
    return 0;
}

还有一类与此问题非常类似的叫做整数分拆。有兴趣的可以去维基百科看看。下面给出网址：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%95%B4%E6%95%B8%E5%88%86%E6%8B%86