独立任务最优调度问题

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用2 台处理机A 和B 处理n 个作业。设第i 个作业交给机器A 处理时需要时间a[i]，若由机器B 来处理，则需要时间b[i] 。由于各作业的特点和机器的性能关系，很可能对于某些i，有a[i] > b[i] ，而对于某些j,j≠i，有a[j] < b[j] 。既不能将一个作业分开由2 台机器处理，也没有一台机器能同时处理2 个作业。设计一个动态规划算法，使得这2 台机器处理完这n个作业的时间最短(从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总时间)。研究一个实例：(a1,a2,a3,a4)＝(2,5,7,10)；(b1,b2,b3,b4)＝(3,8,4,11)。对于给定的2 台处理机A 和B处理n 个作业，找出一个最优调度方案，使2台机器处理完这n 个作业的时间最短。

先给一个比较容易理解的状态转移方程：
用布尔量p(i,j,k)表示前k个任务可由A机在i时间内且B机在j时间内完成。易得：p(i,j,k) = p(i-ak, j, k-1) | p(i, j-bk, k-1).最优结果为p(i,j,n) = true 且 min(max(i, j))。这样表示有两个缺点：一是空间开销大，二是时间花销多。

今天上计算机安全学的时候一直在想怎么样把复杂度压缩下来。突破口当然还是i,j下标这个地方，p(i,j,k)表示前k个任务可由A机在i时间内且B机在j时间内完成，如果将其改为int类型，记录的是另一个数组的完成时间，这样就可以降到二维。假设第一维i保留,我们可以用p(i,k)表示前k个任务可由A在i时间内且B在p(i,k)时间内完成。

递推方程也容易修改了：第k个任务是由第k-1个任务推出来的，那么第k个任务可由A或B机完成：
如果由A机完成，则有：p(i + ak, k) = p(i, k - 1) (B机时间不变）
如果由B机完成，则有：p(i, k) = p(i, k - 1) + bk (A机时间不变）

综上分析可得p(i, k) = min( p(i, k – 1) + bk, p(i – ak, k – 1) ). 复杂度为O（n * sigm(ai))。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

//最大任务数量
#define MAXN 201
//全部在A机器上运行的最大时间上限
#define MAXTIME 10001

int p [ MAXTIME ][ MAXN ];

int ai [ MAXN ], bi [ MAXN ];

int n;

int task( int n) {
    int sum = 0;
    for( int i = 0; i <= sum; ++ i) {
        p [ i ][ 0 ] = 0;
    }
    for( int k = 1; k <= n; ++ k) {
        sum += ai [ k ];
        for( int j = 0; j <= sum; ++ j) {
            p [ j ][ k ] = p [ j ][ k - 1 ] + bi [ k ];
            if( j >= ai [ k ]) {
                p [ j ][ k ] = min(p [ j ][ k ], p [ j - ai [ k ]][ k - 1 ]);
            }
        }
    }
    int ret = sum + 2;
    for( int i = 1; i <= sum; ++ i) {
        ret = min( ret , max(p [ i ][n ], i));
    }
    return ret;
}

int main() {
    scanf( "%d" , &n);
    for( int i = 1; i <= n; ++ i) {
        scanf( "%d" , & ai [ i ]);
    }
    for( int i = 1; i <= n; ++ i) {
        scanf( "%d" , & bi [ i ]);
    }
   

    int ans = task(n);
    printf( "%d /n " , ans);

    return 0;
}