前缀和理念和应用,广义阿基米德原理

最新推荐文章于 2024-01-23 21:53:00 发布

MaplePlane

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分类专栏： ACM实训

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本文深入讲解了算法领域的关键技巧，包括前缀和、快速幂、最大公约数、广义欧几里得原理、二进制位计数及全排列函数等。通过具体实例和代码片段，读者将学会如何高效地解决复杂问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.前缀和是指前面一部分得和a[1]+a[2]+…+a[n]用一个O(1)得方法解决

一维前缀和：用sum[i]表示a[1]+a[2]+…+a[i]得和，sum[0]=0,所以a[i]+a[i+1]+…+a[j]=sum[j]-sum[i-1];

二维前缀和: 用sum[i][j]表示a[1][1]+…+a[i][j]; sum[i][0]=0;sum[0][j]=0; 所以a[x1_x2][y1y2]=sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x-1][y-1];

2.快速幂（简洁方式）通过位运算符实现快速得到a^k得结果

//快速幂对10007求模
const int mod = 10007;
int qmi(int a, int k)
{
	a %= mod;
	int res = 1;
	while (k)
	{
		if (k & 1)res = res * a%mod;
		a = a * a%mod;
		k >>= 1;
	}
	return res;
}

3.gcd(利用辗转相除法求出两个数得最大公约数)

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

4.广义欧几里得原理：
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

5.求得n得二进制表达式中1得个数__builtin_popcount(n)
全排列函数next_permutation(first,end)可以让其排列到字典序中下一个全排列，
prev_permutation(first,end)可以让其排列到字典序中得上一个全排列

6.差分：
利用b[i]=a[i]-a[i-1]的这样一个特性
那么通过对b得处理最后累计影响到a[j]的值，常用于二分处理